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 2/3 Sektor |
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Bekell
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 |  Themenstart: 2020-05-19
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Man kann auch sagen, daß der grüne Teil des Sektors MOA des grünen Kreises 2/3 des kleinen blauen Kreises ist.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_2_3_Sektor.png
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Bekell,
nein, das kann man nicht sagen. Aus dem einfachen Grund, dass (sofern der Radius der kleinen Kreise genau ein Drittel des Großkresiradius ist), sich die Flächen verhalten wie 3 zu 4.
Also: \(\frac{3}{4}\) ist die richtige Antwort auf die Frage, in welchem Verhältnis die beiden stehen.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Geometrie' von Diophant]\(\endgroup\)
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Bekell
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Dabei seit: 05.09.2008
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-19
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Hallo Diophant, bei den von Dir erwähnten Radienverhältnissen, ist die Fläche des großen grünen Kreises genau 9 kleine blaue Kreise.
('Entschuldigung, hatte wieder ungenau formuliert, aber inzwischen emendiert)
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_9_Kreiseklein.png
Entfernt man jetzt die 4 Eckkreise, erkennt man, daß die grüne Fläche in jedem Quadranten genau 1 sein muß.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_5_Krieseklein.png
Ordnet man dagegen so an:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_7_Kreiseklein.png
erkennt man, daß die 3 dualen Zwischenstücken der oberen Hälfte genau einen blauen Kreis ausmachen, was bedeutet, daß ein duales Zwischenstück 1/3 blauer Kreis ist.
Eins ist nun so ein Sector + 1/3 Zwischenstück (die beiden grünen Ränder) - 1/12 Sector kleiner blauer Kreis. Da ein Sector 1/12 grüner Kreis ist, muß der grüne Teil des Sektors 2/3 blauer Kreis sein.
Wo irre ich?
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-19
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Hallo,
\quoteon(2020-05-19 10:48 - Bekell in Beitrag No. 2)
Hallo Diophant, bei den von Dir erwähnten Radienverhältnissen, ist die Fläche des großen grünen Kreises genau 9 kleine blaue Kreise.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_9_Kreiseklein.png
\quoteoff
Soweit stimme ich zu (das ist aber keine sensationelle Erkenntnis...).
\quoteon(2020-05-19 10:48 - Bekell in Beitrag No. 2)
Entfernt man jetzt die 4 Eckkreise, erkennt man, daß die grüne Fläche in jedem Quadranten genau 1 sein muß.
\quoteoff
Das ist schlichtweg falsch. Rechne es nach.
\quoteon(2020-05-19 10:48 - Bekell in Beitrag No. 2)
Ordnet man dagegen so an:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_7_Kreiseklein.png
erkennt man, daß die 3 dualen Zwischenstücken der oberen Hälfte genau einen blauen Kreis ausmachen, was bedeutet, daß ein Zwischenstück 1/3 blauer Kreis ist.
\quoteoff
Hier wird es wieder "Bekell'sch". Sprich: man versteht nicht, was du da tust und schon gar nicht, zu welchem Zweck.
\quoteon(2020-05-19 10:48 - Bekell in Beitrag No. 2)
Eins ist nun so ein Sector + 1/3 Zwischenstück (die beiden grünen Ränder) - 1/12 Sector kleiner blauer Kreis. Da ein Sector 1/12 grüner Kreis ist, muß der grüne Teil des Sektors 2/3 sein.
\quoteoff
Ein Beispiel für mathematischen Dadaismus, würde ich sagen. 😎
\quoteon(2020-05-19 10:48 - Bekell in Beitrag No. 2)
Wo irre ich?
\quoteoff
Indem du eine Frage aufwirfst und beim Versuch, dieser Frage nachzugehen abschweifst zu völlig unwesentlichen Dingen. Frei nach dem Motto: "und nun... ...zu etwas völlig anderem".
Die Tangenten im Themenstart bilden mit der x-bzw. der y-Achse jeweils einen Winkel von 30° (du hast dir hier nichteinmal die Mühe gemacht, exakt zu zeichnen, und das mit GeoGebra. Das ist eine Vorgehensweise, als ob man an ein Profi-Rennrad Stützräder schrauben würde...).
Also hat ein solcher Sektor genau ein Zwölftel der Kreisfläche. Die kleinen Kreise haben ein Neuntel. Der Rest ist (korrekt durchgeführte) Bruchrechnung.
Wenn du freilich ein ganz anderes Flächenverhältnis meinst: dann musst du versuchen zu erläutern, um was es eigentlich gehen soll...
Gruß, Diophant
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Caban
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-19
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Hallo
Wie kommst du auf 1?
Was meinst du mit duale Teilfläche?
Der Zetriewinkel von MOA ist 30°, das ist ein Zwölftel der Gesamtfläche. Der blaue Kreis nimmt wegen Ähnlichkeit welche Fläche ein?
Gruß Caban
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}\)
Nachtrag;
Sorry, ich hatte das mit "dem grünen Teil" des Sektors überlesen.
Zwar kann ich deine Argumentation nicht nachvollziehen, aber jedenfalls ist das Verhältnis 2/3 für diesen Fall richtig. Auch das bekommt man jedoch durch eine simple Rechnung, indem man nämlich die Fläche dieses grünen Anteils berechnet:
\[A_{\text{gruen}}=\frac{\pi}{12}R^2-\frac{1}{9}\cdot\frac{\pi}{12}R^2=\frac{2}{27}\pi R^2\]
Nun bilden wir das Verhältnis:
\[\frac{A_\text{gruen}}{A_\text{blauer Kreis}}=\frac{\frac{2}{27}\pi R^2}{\frac{1}{9}\pi R^2}=\frac{2}{3}\]
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)
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Bekell
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-19
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Mit 1 meinte ich, Diophant, 1 = kleiner blauer Kreis....
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haegar90
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-19
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Ja, oder eben ganz einfach für die gesuchte Fläche: $\frac{1}{12}(a-b)$
Mit a = Fläche großer Kreis und b = Fläche kleiner Kreis.
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Diophant
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| Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Bekell,
\quoteon(2020-05-19 11:37 - Bekell in Beitrag No. 6)
Mit 1 meinte ich, Diophant, 1 kleiner blauer Kreis....
\quoteoff
Das musst du aber schon dazusagen. Das stimmt, wie man ebenfalls recht einfach nachrechnet:
Sei \(R\) der Radius des großen Kreises dann ist \(r=\frac{R}{3}\) der Radius der kleinen Kreise.
Ein Quadrant des großen Kreises hat dann logischerweise die Fläche
\[A_Q=\frac{\pi}{4}R^2\]
Für die grüne Fläche muss man nun 5/4 eines blauen Kreises subtrahieren. Das ergibt:
\[A_g=\frac{\pi}{4}R^2-\frac{5}{4}\cdot\frac{\pi R^2}{9}=\frac{\pi}{9}R^2\]
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]\(\endgroup\)
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Caban
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-05-19
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Hallo
Jetzt verstehe ich das mit der 1. Ich hatte auch das mit dem grünen Teil überlesen wie Diophant.
Meine Rechnung
Der grüne Teil ist die Differenz des großen Sektors A_groß und dem kleinen blauen Sektor A_b.
A_grün=A_groß-A_groß*k^2=A_groß-A_groß*(1/3)^2=8/9*A_groß=8/9*1/12*A=2/27 der Gesamtfläche des grünen Kreises.
Wegen Ähnlichkeit folgt, dass der blaue Kreis eine Fläche hat, die 1/9 der Gesamtfläche entsteht.
Dadurch entsteht 2/3.
Gruß Caban
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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Bekell
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-19
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Wenn ich Euch als Lehrer mal fragen darf: Ist das was für die 5. Klasse?
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viertel
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 | Beitrag No.11, eingetragen 2020-05-19
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5. Klasse in welchem Universum?
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Diophant
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| Beitrag No.12, eingetragen 2020-05-19
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Hallo Bekell,
\quoteon(2020-05-19 11:57 - Bekell in Beitrag No. 10)
Wenn ich Euch als Lehrer mal fragen darf: Ist das was für die 5. Klasse?
\quoteoff
Nein. Das kommt m.W. nach wie vor erst in Klasse 9 an die Tafel bzw. ans Smartboard.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
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Bekell
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-19
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\quoteon(2020-05-19 12:06 - Diophant in Beitrag No. 12)
Nein. Das kommt m.W. nach wie vor erst in Klasse 9 an die Tafel bzw. ans Smartboard.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
\quoteoff
Es ist doch simpelste Bruchrechnung, wenn auch etwas verwirrend dargebracht - da man Pi ja nicht mal braucht. Es wird immer weggekürzt, da die Kreise in ganzzahligen Verhältnissen sind.
Was machen die Kleinen denn heute in der 5.?
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viertel
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| Beitrag No.14, eingetragen 2020-05-19
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\quoteon(2020-05-19 10:48 - Bekell in Beitrag No. 2)
Entfernt man jetzt die 4 Eckkreise, erkennt man, daß die grüne Fläche in jedem Quadranten genau 1 sein muß.
\quoteoff
Aber auch nur, wenn man voraussetzt, daß der Radius des großen Kreises $\frac{3}{\sqrt{\pi}}\approx 1.692568750$ ist (was sich nicht mit deiner Zeichnung verträgt). Das ergibt sich als Lösung der Gleichung
\[\frac{\pi r^2 -5 \cdot \pi \left(\frac{r}{3}\right)^2}{4}=\frac{\pi r^2}{9}=1\]
Diese Angabe hast du natürlich wieder mal vergessen 😖
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_5_Krieseklein.png
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
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viertel
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| Beitrag No.15, eingetragen 2020-05-19
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\quoteon(2020-05-19 12:15 - Bekell in Beitrag No. 13)
Was machen die Kleinen denn heute in der 5.?
\quoteoff
Jedenfalls nicht Geometrie auf dem Level 😉
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Caban
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| Beitrag No.16, eingetragen 2020-05-19
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Hallo
In meinen Augen ist theorethisch schon die 8 Klasse möglich, man braucht nur zentrische Streckung.
Gruß Caban
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