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| Autor |
  Absolut stetig bezüglich Lebesgue-Maß |
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Radix
Senior 
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6378
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2020-05-20
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Hallo!
Es sei F(x,y)=cases(xy^2,x\,y>0;0,sonst)
(a) Zeigen Sie: F ist eine zweidimensionale Verteilungsfunktion.
(b) Zeigen Sie: \mue_F ist absolut stetig bezüglich des zweidimensionalen Lebesgue-Maßes.
(c) Bestimmen Sie die Radon-Nikodym-Ableitung von \mue_F bezüglich des zweidimensionalen Lebesgue-Maßes.
(a) ist kein Problem. In der Definition von (b) kommen die Nullmengen des Lebesgue-Maßes vor, was mich ratlos macht. Und (c) darf ich ja bei (b) noch nicht verwenden. Bezüglich (c) habe ich nur Formeln und Algorithmen, die ausschließlich im Eindimensionalen funktionieren. Wie geht man hier im Zweidimensionalen vor?
Danke
Radix
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qzwru
Senior 
Dabei seit: 24.09.2013
Mitteilungen: 390
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-20
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Hallo Radix,
du musst ja (warum?) nur eine messbare Funktion $f: \mathbb R^2 \to [0, \infty)$ finden mit
$\int_0^x \int_0^y f(s, t) \, \mathrm dt \mathrm ds = xy^2$ für alle $x, y>0$ und $f(s, t) = 0$ falls $s\leq 0$ oder $t\leq 0$.
Die (b) ist ja (wie du bereits erkannt hast) überflüssig, keine Ahnung auf was der Aufgabensteller hinaus wollte.
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Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-21
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f(s,t)=2t für s,t>0 ?
Und dass es nicht nur für Rechtecke gilt, sondern für alle Borelmengen (?), argumentiert man mit dem Fortsetzungssatz?
Danke,
Radix
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qzwru
Senior
Dabei seit: 24.09.2013
Mitteilungen: 390
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-21
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Ja genau. Im Prinzip reicht es, dass
$\mathcal E = \{ (- \infty, x] \times (-\infty, y]: x, y\in \mathbb R\}$
ein schnittstabiler Erzeuger von $\mathcal B(\mathbb R^2)$ ist und $\mathbb R^2 = \bigcup_{n\in \mathbb N}(- \infty, n] \times (-\infty, n]$. Damit ist ein Maß $\mu$ auf $\mathcal B(\mathbb R^2)$ mit $\mu((- \infty, n] \times (-\infty, n]) < \infty$ für alle $n\in \mathbb N$ bereits eindeutig durch seine Werte auf $\mathcal E$ bestimmt (siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Ma%C3%9Feindeutigkeitssatz#Ma%C3%9Ftheoretische_Version).
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Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6378
Wohnort: Wien
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-21
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Radix hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Radix hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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