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Mathematik » Strukturen und Algebra » Identifikation ist nur möglich, wenn der Isomorphismus kanonisch ist?
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Universität/Hochschule Identifikation ist nur möglich, wenn der Isomorphismus kanonisch ist?
LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-30

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Hallo,

ich dachte stets, dass es ausreicht um eine Identifikation zu haben, dass ein Isomorphismus zwischen algebraischen Strukturen besteht/existiert.

Im Buch wird aber nun argumentiert, dass man nicht von "dem" algebraischen Abschluss sprechen kann, denn es gäbe keine kanonischen(!) Isomorphismen i.A. .

Für ein Isomorph. $f_{ij}: K_i \rightarrow K_j$ mit $f_{ij}|_K = \text{id}_K$ müsse stets gelten (um von einer Identifikation der algebraischen Strukturen sprechen zu können): $f_{ik} = f_{jk} \circ f_{ij}$

Was also ist jetzt richtig?
Wie definiert man "kanonisch" denn formal? Ich konnte nur finden, das ist so etwas wie ein Synonym für "intuitiv/direkt/einfach" ist.

Beste Grüße und vielen Dank
Lukas Nießen


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne :-)
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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-31


Das ist eine gute Frage.

Es kommt ganz darauf an, wofür man diese Identifikation benutzen will. Manchmal ist das selbst problematisch, wenn ein kanonischer Isomorphismus vorliegt.

In der Mathematik wird das Wort "kanonisch" oft nur informal verwendet mit der Bedeutung "natürlich/es gibt genau eine Wahl".
Tatsächlich gibt es auch nicht wirklich die Definition des Wortes "kanonisch". Ich zitiere mal Idoneal, der auf MO gesagt hat, dass es keine kanonische Definition von kanonisch gibt.

Man verwendet es meist für eines dieser Bedeutungen:
- Ein Isomorphismus mit Eigenschaften xyz ist kanonisch, wenn es genau einen solchen Isomorphismus gibt.
- Ein Isomorphismus ist kanonisch, wenn es ein natürlicher Isomorphismus ist. Dabei sprechen wir von Natürlichkeit im kategorischen Sinn.
Prinzipiell formalisiere ich also die obige informale Verwendung.

Es gibt aber viele Threads auf MSE und MO, die tausendfach bessere Antworten enthalten, als ich momentan geben kann.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Martin_Gal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-31


Eine sehr gute Definition von "kanonisch" ist meiner Meinung nach "unabhängig von Wahlen". So hatte es mein Prof in Linearer Algebra 2 erklärt (als es um die universelle Abbildungseigenschaft des Tensorprodukts ging) und ich fand die Definition damals sehr erhellend.

Also zum Beispiel ist \( V \otimes V^* \cong \operatorname{End} V \) kanonisch, aber \( \operatorname{End} V \cong \operatorname{Bil} (V) \) ist nicht kanonisch (aber \( \operatorname{Bil} (V) \cong V^* \otimes V^* \) ist kanonisch).

Ähnlich: \( V \cong V^{**} \) ist kannonisch (Vektorraum mit Bidualraum), aber \(V \cong V^* \) ist es nicht. Warum nicht? Weil man für den zweiten Isomorphismus entweder ein Skalarprodukt oder eine Basis braucht (was unter dem Strich auf das Gleiche hinausläuft). Wenn man nämlich eine Basis \( (e_i)_i \subset V \) wählt, hat man auch eine duale Basis \( (f_i)_i \subset V^* \), und man kann
\( v = \sum_{i} v_i e_i \mapsto \sum_{i} v_i f_i \)
abbilden. Aber wenn man eine andere Basis wählt (schon, wenn man einen Vektor verändert, bringt man die gesamte Dualbasis durcheinander!), bekommt man einen ganz anderen Isomorphismus.

Der Isomorphismus \( v \mapsto v^{**} \in V^{**}, v^{**}(f) := f(v), f \in V^* \) ist hingegen eindeutig, d.h. kanonisch.

Und das Attribut "kanonisch" wird nicht nur mit dem Substantiv "Isomorphismus" verwendet. Irgendetwas, das für einen metrischen Raum kanonisch ist, muss für einen metrisierbaren Raum nicht unbedingt kanonisch sein (im metrischen Raum ist eine Metrik festgelegt, im metrisierbaren Raum hingegen nicht; es kann mehrere Metriken geben, die mit der Topologie vereinbar sind, und keine davon ist irgendwie ausgezeichnet).

Konstruktionen, die auf das Auswahlaxiom (oder auch irgendeine beweisbare schwache Form davon), die Wahl einer Teilfolge, usw., angewiesen sind, sind nicht kanonisch.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-31


Für Leser, die noch keine Kategorientheorie können, ist das Bidualraumbeispiel von Martin_Gal übrigens genau die Natürlichkeit im Sinne der Kategorientheorie.
Genau weil es einen natürlichen Isomorphismus $V \to V^{\ast \ast}$ gibt, ist es unabhängig von der Basiswahl. (Die Kategorientheorie formalisiert also im gewissen Sinne das, was die Professoren in LA erklärt haben.)

Ich würde aber nicht unbedingt zustimmen, dass Konstruktionen, die auf das Auswahlaxiom angewiesen sind, nicht natürlich sind. Siehe z.B. MSE/49420.


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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10


Erstmal danke für eure Antworten.

Aber ich bin noch immer verwirrt:

Ich dachte stets, "isomorph" bedeutet in der Intuition, dass gewisse Teile homomorph sind, also "gleichförmig", sich also gleich verhalten. Durch die Bijektivität wird diese Gleichförmigkeit aber auf die gesamten Strukturen "ausgedehnt", also verhalten sich beide Strukturen gleich.

Denn durch f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b) und f(1)=1 ergibt sich ja, dass, wenn man für jedes a in der einen Struktur einfach f(a) in der anderen Struktur betrachtet, die Rechnungen / Verknüpfungen exakt gleich "ablaufen".

Es ist also quasi nur eine Umbenennung der Elemente, die Struktur aber ist gleich, die Elemente heißen zwar anders, aber verhalten sich genau gleich.

Und genau das obige würde für mich "identifizieren" bedeuten.

Daher:
- Ist meine Auffassung von dem Wort "identifizieren" falsch?
- Oder ist mein Verständnis von (nicht zwingend kanonischer) Isomorphie falsch?

Wenn letzteres:
- Was bedeutet dann Isomorphie überhaupt in der Intuition, wofür beweist man Isomorphie?
- Wieso ist meine Interpretation falsch? Gibt es etwa ein Beispiel, wo Isomorphie besteht, aber die Struktur verschieden ist, es also nicht nur eine reine Umbenennung der Elemente vorliegt?

Ich bin verwirrt...

Danke sehr!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10

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2020-05-30 16:45 - LukasNiessen im Themenstart schreibt:
Für ein Isomorph. $f_{ij}: K_i \rightarrow K_j$ mit $f_{ij}|_K = \text{id}_K$ müsse stets gelten (um von einer Identifikation der algebraischen Strukturen sprechen zu können): $f_{ik} = f_{jk} \circ f_{ij}$

Außerdem, obige Forderung ist doch stets wahr für Isomorphismen $f_{ik},f_{jk},f_{ij}$?


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne :-)
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Kezer
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Es stimmt schon, dass Isomorphismen strukturerhaltende Bijektionen sind und quasi "nur die Elemente umbenennen" - aber wieso ist eine solche Umbenennung immer sinnvoll? Deshalb habe ich geschrieben, dass es darauf ankommt, wofür man die Identifikation benutzt, manchmal kann es eben zu Problemen kommen, wenn man nur umnummeriert.

Auch kanonische Isomorphismen sind nicht immer perfekt, nur oft besser als nicht-kanonische Isomorphismen.

Ich verlinke mal MO/24318, dort werden gute Beispiele gegeben.

2020-07-10 21:12 - LukasNiessen in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-05-30 16:45 - LukasNiessen im Themenstart schreibt:
Für ein Isomorph. $f_{ij}: K_i \rightarrow K_j$ mit $f_{ij}|_K = \text{id}_K$ müsse stets gelten (um von einer Identifikation der algebraischen Strukturen sprechen zu können): $f_{ik} = f_{jk} \circ f_{ij}$

Außerdem, obige Forderung ist doch stets wahr für Isomorphismen $f_{ik},f_{jk},f_{ij}$?

Nein, wieso sollte das denn wahr sein?


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Jeder Isomorphismus ist zunächst einmal eine Einladung, ihn als Identifikation anzusehen. Allerdings muss man in einem Kontext dann sicherstellen, dass alle Identifikationen miteinander kompatibel sind (weil es ansonsten zu Widersprüchen kommt).

Wenn man also etwa drei Isomorphismen $ f : A \xrightarrow{\sim} B$, $g : B \xrightarrow{\sim} C$ und $h : A \xrightarrow{\sim} C$ als Identifikationen ansehen möchte, muss man vorher prüfen, dass $h = g \circ f$ gilt.

Wenn man zwei Isomorphismen $f,g : A \xrightarrow{\sim} B$ als Identifikationen ansehen möchte, muss man vorher prüfen, dass $f=g$ gilt.

Grob gesagt müssen für Identifikationen alle nur denkbaren Gleichungen gelten, die für Identitätsmorphismen gelten.

Beispiel: Für eine Menge $X$ sei $\mathrm{Sym}(X)$ die symmetrische Gruppe auf $X$. Für eine Teilmenge $X \subseteq Y$ haben wir eine Einbettung $f_{X,Y} : \mathrm{Sym}(X) \to \mathrm{Sym}(Y)$, definiert durch $f_{X,Y}(\sigma)|_X = \sigma$ und $f_{X,Y}(\sigma)|_{Y \setminus X} = \mathrm{id}_{Y \setminus X}$. Für eine Kette $X \subseteq Y \subseteq Z$ gilt $f_{X,Z} = f_{Y,Z} \circ f_{X,Y}$, das kann man leicht nachrechnen. Die Einbettungen sind also miteinander kompatibel. Insbesondere können wir $f_{X,Y}$ als Identifikation zwischen $\mathrm{Sym}(X)$ und dem Bild $\mathrm{im}(f_{X,Y}) = \{\sigma \in \mathrm{Sym}(Y) : \sigma|_{Y \setminus X} = \mathrm{id}_{Y \setminus X}\}$ ansehen.
 
Hier ein Beispiel, welches keine Identifikation ist: Sei $V$ ein Vektorraum. Dann haben wir einen Isomorphismus $f : V \oplus V \to V \oplus V$, $f(v,v') := (v',v)$. Dieser sollte nicht als Identifikation angesehen werden, weil es neben $f$ auch den Isomorphismus $\mathrm{id}_{V \oplus V}$ gibt und $f \neq \mathrm{id}_{V \oplus V}$ gilt (außer $V$ ist trivial).

Der Zusammenhang zu universellen Eigenschaften sieht grob gesagt so aus: Die Morphismen, die sich aus universellen Eigenschaften ergeben, sind per Definition eindeutig bestimmt, sofern gewisse Eigenschaften erfüllt sind. Diese Eigenschaften bleiben oftmals erhalten, wenn man die Morphismen miteinander verkettet. Die Gleichungen, die man für Identifikationen benötigt, ergeben sich daher aus der Eindeutigkeit.

Beispiel: Seien $U,V,W$ Vektorräume. Aus den Isomorphismen vom Typ $U \oplus V \xrightarrow{\sim} V \oplus U$, $(u,v) \mapsto (v,u)$ bilden wir einerseits den Isomorphismus $U \oplus V \oplus W \xrightarrow{\sim} U \oplus W \oplus V \xrightarrow{\sim} W \oplus U \oplus V \xrightarrow{\sim} W \oplus V \oplus U$ und andererseits den Isomorphismus $U \oplus V \oplus W \xrightarrow{\sim} V \oplus U \oplus W \xrightarrow{\sim} V \oplus W \oplus U \xrightarrow{\sim} W \oplus V \oplus U$. Beide stimmen überein. Das kann man entweder direkt sehen oder mit der universellen Eigenschaft der direkten Summe begründen.



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