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Universität/Hochschule J Abschätzung gesucht
EpsilonDelta
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-01


Ich habe folgenden Term erhalten:
\[\left | \frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{4}+t^2}\right | \] gibt es eine Möglichkeit diesen so abzuschätzen, dass
\[\left | \frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{4}+t^2}\right | \le C\cdot t^2\] für alle \(t\in [0,1/2]\) und \(C>0\).

Egal was ich probiere, es gelingt nicht.



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo EpsilonDelta,

\(C=1\) sollte das gewünschte leisten. Mache dir zunächst klar, dass man die Betragsklammern nicht benötigt.

Die Abschätzung kann man dann bspw. begründen, indem man den Term mit der Normalparabel gleichsetzt.

EDIT: viel eleganter jedoch geht es so, wie Nuramon es in Beitrag #3 vorschlägt.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Ungleichungen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Epsilondelta,

den Betrag kannst du doch weglassen, weil der Inhalt immer positiv ist.
Und dann kannst du Äquivalenzumformungen machen und erhältst, dass \(C=2\) z.B. klappt.

Viele Grüße

Wally

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2168
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Mit dem Standardtrick: $\sqrt x -\sqrt y = \frac{x-y} {\sqrt x +\sqrt y}$ kommt man hier schon ans Ziel.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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EpsilonDelta
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-01


Tut mir leid, ich habe da irgendwie ein Vorzeichen reingebracht, das hier nicht hingehört. Habe den Post editiert.



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-06-01 15:28 - EpsilonDelta in Beitrag No. 4 schreibt:
Tut mir leid, ich habe da irgendwie ein Vorzeichen reingebracht, das hier nicht hingehört. Habe den Post editiert.

dann ist es kein Wunder, dass du es nicht hinbekommst: denn dann geht es nicht. Die rechte Seite lässt sich ja stets als Parabel mit Scheitel im Ursprung auffassen. Die linke Seite als Funktion aufgefasst besitzt aber ihr Minimum in \((0,1)\), so dass die Situation grafisch so aussieht:



Man kann hier schön erkennen, dass du eine zusätzliche additive Konstante bräuchtest.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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EpsilonDelta
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-01


Danke für die ausführliche Antwort! 🙂



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EpsilonDelta hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
EpsilonDelta hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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