Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Vektorräume » Dimension von Vektorräumen bestimmen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Dimension von Vektorräumen bestimmen
tbd321
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.10.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-01


Hi lieber Matheplanet,

ich hätte da eine Frage bzgl. 4er Vektorräume, bei denen ich gerne die Dimension bestimmen möchte.
Hier zunächst die Räume:

fed-Code einblenden

Das ganze stammt aus einem Beweis zum Lösen von Rekursionen. Dort ist dann davon die Rede, dass alle vier Vektorräume die Dimension d haben. Das wird damit begründet, dass in $A_1$ die Anfangswerte $f(0),...,f(d-1)$ beliebig gewählt werden können, in $A_2$ die d Koeffizienten $p_0 ,...,p_(d-1$ und in $A_3$ und $A_4$ jeweils die $d_i$ Koeffizienten von $g_i (z)$ bzw. $p_i (n)$ mit $sum(d_i , i=1,k)=d$.
Dass das Sinn ergibt sehe ich durchaus, aber wie kann man es formell zeigen? (Also nach dem Schema: lineare Unabhängigkeit der Basisfunktionen und zeigen, dass die Basis den entsprechenden Vektorraum erzeugt)
Ich weiß nicht so recht, wie ich hierbei anfangen soll bzw. wie ich die lineare Unabhängigkeit überprüfen kann.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!

Grüße
tbd321



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tbd321
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.10.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


Falls irgendetwas unverständlich ist, dann könnt ihr mir das gerne sagen :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 525
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-02


Hallo,

bei A1 zeige erste den Hinweis. Ein Funktion f die $V_1$ erfüllt ist eindeutig durch die Bilder f(0),..f(d-1) festgelegt und jede Wahl von f(0),...,f(d-1) definiert eine Funktion f in $V_1$. Wenn du das getan hast, kannst du bspw. $f_j(z) = \begin{cases} 0 &j\neq z \\1 &j=z\end{cases}$ setzen für j=0,...,d-1. Dann kannst du formal zeigen, dass diese $f_j$ linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tbd321
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.10.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


Vielen Dank für den Tipp!
Bevor ich mich da ransetzte aber noch eine kleine Frage:
Hat es einen Grund, dass in dem Hinweis von $f(0),...,f(d-1)$ die Rede ist und nicht von $f(n),...,f(n+d-1)$ oder spielt das keine Rolle, ob wir $n=0$ setzten?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 525
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-02


Es geht darum, dass wenn man eine Funktion an $d$ aufeinanderfolgenden Stellen kennt, dass dann bereits die gesamte Funktion bekannt ist. Um verschiedene Funktionen vergleichen zu können, schauen wir uns dann bestimmte $d$ stellen an, der Einfachheit nimmt man dann die ersten.
Du kannst theoretisch auch statt 0, ..,d-1 die Stellen 100,..., 100+d-1 nehmen, aber intuitiv ist das nicht.
(dass das hier beliebig ist, hat auch etwas damit zu tun, dass $q_d\neq 0$ ist, ansonsten kann man nämlich nicht mehr f(0) abhängig von f(100),...,f(100+d-1) bestimmen)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tbd321
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.10.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


dann verstehe ich aber die Rolle der Koeffizienten $q_1 ,...,q_{d-1}$ nicht. Diese sind zwar fest gewählt, können aber theoretisch alle gleich Null sein. Dann kann man doch keine Aussage mehr über die restlichen Bilder $f(d-1),...,f(1)$ treffen, bzw. dann hat das Festlegen dieser Bilder keinen Einfluss auf die Funktion oder? Vllt rede ich hier auch gerade ganz viel Müll



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tbd321
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.10.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


Ok, vergiss meinen letzten Kommentar.

Ich verstehe noch nicht ganz, weshalb f "nur" durch $f(0),...,f(d-1)$ festgelegt wird und nicht auch durch $f(d)$.
Und warum müssen es ($d$) aufeinander folgende Zahlen sein?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 525
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-02


Das liegt an der Gleichung in $A_1$.
Beispielsweise ist ja $f(d)+q_1f(d-1)+...+q_df(0) = 0$, also $f(d)= - (q_1f(d-1) + ... + q_df(0))$ und damit f(d) bereits durch f(0),...,f(d-1) festgelegt. Dann ist aber $f(d+1) = -(q_1f(d)+ q_2f(d-1) + .. + q_df(1) )$, also auch f(d+1) festgelegt durch die $d$ Vorgänger, setzt man jetzt noch die ABhängigkeit von f(d) zu f(0),..,f(d-1) ein, dann ist auch f(d+1) nur noch von f(0),..,f(d-1) abhängig.
Das geht dann induktiv so weiter. Theoretisch wäre es auch zulässig, dass alle q_i null sind. Damit f dann in $V_1$ liegt, müsste dann $f(d+k) = 0$ für alle $k\geq 0$ gelten, und f(0),..,f(d-1) sind wieder beliebig.
Wenn ich mich nicht vertue, kann man hier auch die Abbildung zwischen $V_1$ und $\mathbb{C}^d$ gut erkennen: Ein Element von $V_1$ hat also nur in den ersten $d$ Stellen Werte, die von 0 verschieden sein können, und danach kommen nur noch Nullen (bzw. keine weiteren Informationen über die Funktion). Es legt den Verdacht nahe, dass wir $f$ auf $(f(0),\cdots,f(d-1)) \in \mathbb{C}^d$ abbilden können.

Grüße
Creasy



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tbd321
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.10.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


Ok, vielen Dank für deine Antwort!

Ich hab jetzt mal versucht, dass zu zeigen, vielleicht kannst du ja mal drübergucken :)

fed-Code einblenden

A3 und A4 muss ich mir nochmal anschauen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tbd321
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 08.10.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


Ich glaube, dass bei der Basis was schief gelaufen ist. Irgendwie stimmt das mit den Indizes nicht :/



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tbd321 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]