Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von fru MontyPythagoras
Mechanik » Gravitation » Gravitationsenergie berechnen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Gravitationsenergie berechnen
kuckuck3
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 100
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-01


Hallo, bin bei nachfolgender Aufgabe ratlos. Weiß absolut keinen Ansatz:

Die Potentielle Energie einer Verteilung von n Punktteilchen der Massen \( m_i \) an den Orten \( \vec{r_i} \) ist gegeben durch:
\( U = -G_N \sum\limits_{i=2}^{n} \sum\limits_{j=1}^{i-1} k\frac{m_i m_j}{| \vec{r_i} - \vec{r_j} | }  \).

Dies kann für eine kontinuierliche Massendichteverteilung \(
\rho(\vec{r}) \) verallgemeinert werden zu:
\( U = -G_N \frac{1}{2} \int d^3r_2 d^3r_1 \frac{\rho(\vec{r_1}) \rho(\vec{r_2})}{| \vec{r_1} - \vec{r_2} | }  \).

Betrachten Sie eine Kugel des Radius R und der Gesamtmasse M, welche sich homogen auf das Kugelinnere verteilt:
\( \rho(\vec{r}) = \rho(r) =
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{M}{V} & r \leq R \\
0 & r > R \\
\end{array}
\right. \)
wobei \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \)

Berechnen Sie die Gravitationsenergie U.

Wäre um jeden Tipp dankbar.

Viele Grüße
kuckuck3



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10820
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-01


Hallo kuckuck3,
wo genau hast Du Schwierigkeiten? Ich verstehe die Aufgabe so, dass mit Gravitationsenergie die potentielle Energie $U$ gemeint ist. Dazu gibt es zwei Formeln, welche davon ist die richtige für diese Frage?

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kuckuck3
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 100
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


Hallo Roland,
danke für die Antwort. Ich weiß leider nicht wie ich anfangen soll. Vermutlich muss ich die Formel für die kontinuierliche Massendichteverteilung in Kugelkoordinaten umformen und dann weitermachen.

Ja ich denke auch, dass mit Gravitationsenergie die potentielle Energie gemeint ist.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Orangenschale
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2281
Aus: Jena, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-02

\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
2020-06-02 10:45 - kuckuck3 in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Roland,
danke für die Antwort. Ich weiß leider nicht wie ich anfangen soll. Vermutlich muss ich die Formel für die kontinuierliche Massendichteverteilung in Kugelkoordinaten umformen und dann weitermachen.

Genau!
Ich halte von der Aufgabe nicht viel, da sie im Prinzip nur eine reine Rechenübung ist. Das Vorgehen bei Doppelintegralen in Kugelkoordinaten ist meistens so, dass man die Koordinten so wählt, dass Vektor $\vec r_2$ als die $z$-Richtung des Koordinatensystem von $\vec r_1$ definiert wird. Dann vereinfacht sich der Abstand $|\vec r_2-\vec r_1|$ ganz erheblich.

Viele Grüße
OS



-----------------
If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kuckuck3
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 100
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


Das hört sich doch schon mal gut an. Also:

\( U = -G_N \frac{1}{2} \int d^3r_2 d^3r_1 \frac{\rho(\vec{r_1}) \rho(\vec{r_2})}{| \vec{r_1} - \vec{r_2} | } =
-G_N \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} d\phi_2 \int_0^\pi d\theta_2 \int_0^R \frac{\rho(\vec{r_1}) \rho(\vec{r_2})}{|\vec{r_1} - r_2 \vec{e_z}|} \)

Stimmt das so? Oder brauche ich nochmal ein Integral? Mich verwirrt das Doppelintegral etwas. Bzw wieso steht eigentlich zweimal dr dort aber nur ein Integral?

Und was muss ich für rho einsetzen? Oder soll ich das erstmal so stehen lassen?

Viele Grüße
kuckuck3



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Orangenschale
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2281
Aus: Jena, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-02

\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
$\rho$ ist doch in der Aufgabe vorgegeben.
Aber was du da genau mit den Volumenintegralen gemacht hast ist mir völlig unklar. Betrachte einmal nur das innere Integral über die Koordinaten $\vec r_1$ und behandle $\vec r_2$ (vorerst) als eine Konstante.
Wähle nun Kugelkoordinaten und lege sie so, dass für $\theta_1=0$ die Richtung von $\vec r_1$ mit der Richtung von $\vec r_2$ übereinstimmt. Das entspricht demnach den klassischen Kugelkoordinaten, wo $\theta_1$ den Winkel zwischen $\vec r_1$ und der $z$-Achse misst.
Daraus folgt
$$ |\vec r_2 - \vec r_1|^2 = r_1^2 + r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos\theta_1
$$
Das Volumenelement in Kugelkoordinaten solltest du kennen und verwenden.  

Viele Grüße
OS


-----------------
If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kuckuck3
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 100
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


Ich komme jetzt auf:

\[ G_N \pi \frac{M}{V} \int_0^R \rho(\vec{r_2}) \frac{r_1´}{r_2} |r_2 - r_1´| - |r_2 + r_1´| dr_1´ \]
Jetzt kommt die Fallunterscheidung r>R und r<R und dann noch das Integral nach \[ \rho(\vec{r_2}) \]. Ist das so richtig?

Viele Grüße
kuckuck3



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Orangenschale
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2281
Aus: Jena, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-02

\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo kuckuck3,

das Ergebnis kann eigentlich nicht stimmen, das sieht man schon an den Einheiten. Da sollte irgendwo $(M/V)^2$ stehen, da die Ladungsdichte ja als Produkt vorkommt. Zudem sollte dein angegebenes Zwischenergebnis $r_2$ nicht mehr enthalten wenn du bloß noch über $r_1$ integrierst, denn zum Schluss solltest du eine Energie unabhängig von $r_1$ und $r_2$ erhalten.

Da du keine Zwischenschritten angegeben hast weiß ich leider nicht, wo du noch Fehler gemacht hast. Aber mit einem hast du ungefähr recht, irgendwann macht man eine Fallunterscheidung so wie es bei dir steht.

Die Aufgabe ist rein rechnerisch recht umfangreich mit großem Fehlerpotential (vor allem Vorzeichen), da muss man sich definitv ziemlich konzentrieren.


-----------------
If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Orangenschale
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2281
Aus: Jena, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-03

\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo kuckuck3,

dein Integral sollte ungefähr so aussehen:
$$ U = -\frac G 2 \left( \frac M V\right)^2 (2\pi)^2  \int_0^\pi d\theta_2 \int_0^R dr_2 r_2^2 \sin\theta_2 \int_0^\pi d\theta_1 \int_0^R dr_1 r_1^2 \sin\theta_1 \frac{1}{\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\theta_1}}.
$$ Die Integrationen ber $\phi_1$ und $\phi_2$ habe ich schon ausgeführt, daher auch der Faktor $(2\pi)^2$. Dann ist es geschickt zuerst die Integrationen über $\theta_1$ und $\theta_2$ durchzufhren.

Viele Grüße
OS


-----------------
If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]