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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Maximum von trigonometrischer Funktion
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Universität/Hochschule Maximum von trigonometrischer Funktion
schoeni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-03


Hallo, ich soll das Maximum der Funktion $$f(\theta) \ =\ \frac{\cos\left( \frac{3\pi}{2} \cos(\theta) \right)}{\sin(\theta)}$$ im Bereich $0\leq \theta \leq 2\pi$ ohne numerische Hilfe berechnen. Ableiten und gleich 0 setzten bringt mich nicht weiter da die Gleichung sich nicht lösen lässt. Bin um alles dankbar.



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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-03


Hallo

Ohne Numerik geht das wohl nicht. Wie lautet die Orginalaufgabe?

Gruß Caban



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-03


Nach Ableitung haben wir also
6*Pi*sin(x)^4*sin(3/2*Pi*cos(x))-(2*sin(x)*sin(2*x)*cos(3/2*Pi*cos(x)))=0

mit 8 Nullstellen, wobei 3 davon in der Ausgangsfunktion und im Untersuchungsbereich lokale Maxima zeigen:
f(x1=Pi/2) = 1
 
f(x2=3.8844803113522448117641632041662891216033383947171376295226630082213089060853372025403154348393756)
=1.399004953660307870383989774025792983287958167949594576597687366679694161193579791110493535332
 
f(x3=5.54029764941713490362376694567221953098816980340817983340217076870214031277328979334378904118697)
=1.399004953660307870383989774025792983287958167949594576597687366679694161193579791110493535332

Zig Umstellungen wie
tan^4(x/2)+12 Pi tan((3 Pi (1-tan^2(x/2)))/(4 (tan^2(x/2)+1))) tan^2(x/2)+tan^2((3 Pi (1-tan^2(x/2)))/(4 (tan^2(x/2)+1)))-tan^2((3 Pi (1-tan^2(x/2)))/(4 (tan^2(x/2)+1))) tan^4(x/2)=1
und Substitutionen brachten mich auch mit Hilfe von Mathematica nicht weiter bei der Suche nach expliziten Formeln für die beiden letzteren x2 und x2.
Interessant ist aber, dass die Funktionswerte exakt übereinstimmen.

Mich würde auch die genaue Aufgabenstellung interessieren, da:
- x1 ja exakt bestimmt werden kann (reicht das?)
- wer verlangt die exakte Umstellung? Muss das Ergebnis in trigonometrischen Funktionen der Schule angegeben werden, oder könnte man das auch mit hypergeometrischen Funktionen oder AGM(x,y) angeben?
- oder selbst ausgedacht?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-06 21:27


Die Lösungen und Probeberechnungen per Mathematica habe ich mal hier zusammengefasst:
hier Mathematica_1_TrigonoUmstellung

Interessant:
- Mit Hilfe einer Hilfs-Konstanten h, kann man alle 6 Nullstellen der Ableitung bestimmen
- Zwar konnte ich h noch nicht explizit ausdrücken, aber mit der leicht berechenbaren nae stimmen schon mal 57 Nachkommastellen. Das sollte für die meisten Zwecke ausreichen.
- die Extremstellen der Funktionswerte sind: abs(fmin)=abs(fmax) oder 1



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