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Universität/Hochschule J Optimaler Punkt durch KKT-Bedingung
LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-03


Hallo,

ich habe ein Optimierungungsproblem gegeben, das ich minimieren soll und Nebenbedingungen (drei Ungleichungen, die ich nach $\leq 0$ umgestellt habe), nun soll ich mithilfe der KKT-Bedingungen nachweisen, dass der gegebene Punkt $\bar{x}$ optimal ist.

Nun habe  ich die KKT-Bedingungen überprüft und alle waren wahr, somit ist der gegebene Punkt ein KKT Punkt.
Nun ist ja nicht jeder KKT-Punkt unbedingt optimal.

Nun meine Frage: wann ist ein KKT-Punkt optimal? Also was muss ich noch nachweisen, um diese Aufgabe zu lösen? Ich habe mithilfe der Hessematrix nun gezeigt, dass die gegebene Funktion (streng) konvex ist und die eine Nebenbedingung ist affin-linear, die andere jedoch ist nicht affin-linear: $h_1(x)=x_1^2 - x_2$. Wie zeige ich, dass sie Teil der konvexen Menge ist? Und reicht das aus, um zu zeigen, dass der KKT-Punkt auch optimal ist?

Danke!



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-03


Hi LamyOriginal,
die hinreichende Optimalitätsbedingung lautet, dass die KKT-Bedingungen erfüllt sind und die Hessematrix der Lagrange-Funktion auf dem Unterraum, der zu den aktiven Nebenbedingungen orthogonal ist, positiv definit ist.
Gruß Buri



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-05


2020-06-03 18:25 - Buri in Beitrag No. 1 schreibt:
Die hinreichende Optimalitätsbedingung lautet, dass die KKT-Bedingungen erfüllt sind und die Hessematrix der Lagrange-Funktion auf dem Unterraum, der zu den aktiven Nebenbedingungen orthogonal ist, positiv definit ist.

Wenn wir unter "Optimum" ein "globales Optimum" verstehen, dann gilt diese hinreichende Optimalitätsbedingung meist nur für konvexe Aufgaben (was bei der obigen Aufgabe anscheinend der Fall ist). Freilich ist die Suche nach globalen Optima eine schwere Sache, so dass man sich bei differenzierbaren Funktionen oft mit einem örtlichen Optimum begnügt.

@Buri: Falsches Zitat nun berichtigt!


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/Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-05


Hi Goswin,
der Zusatz "für konvexe Aufgaben" stammt nicht von mir und muss gestrichen werden.
Es handelt sich um eine hinreichende Optimalitätsbedingung, die auch im nichtkonvexen Fall gilt.
Gruß Buri



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