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Universität/Hochschule J Operatornorm
Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-03


Hallo,
unsere Professorin hat in der Vorlesung folgende Darstellug für die Operatornorm eines stetig linearen Operator verwendet.




Ich kann zeigen, dass \[sup_{\Vert x \Vert \leq 1, \Vert y \Vert \leq 1 } \vert \langle Tx , y \rangle \vert \leq \Vert T \Vert \] gilt. An der anderen Ungleichung scheitere ich jedoch vergebens, wie kann ich dies anstellen?

Danke und LG



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-03


Es ist vielleicht nicht unmittelbar einsichtig wie <math><Tx, Tx></math> durch das Supremum abgeschätzt werden kann, weil <math>Tx</math> in der Regel nicht eine Norm <math>\leq 1</math> hat. Normiere daher den zweiten Vektor...



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


2020-06-03 21:56 - hippias in Beitrag No. 1 schreibt:
Es ist vielleicht nicht unmittelbar einsichtig wie <math><Tx, Tx></math> durch das Supremum abgeschätzt werden kann, weil <math>Tx</math> in der Regel nicht eine Norm <math>\leq 1</math> hat. Normiere daher den zweiten Vektor...

Ich komme dabei auf keine grünen Zweig, im Gegenteil, ich rutsche immer mehr in Verzweiflung. Kannst du mir vielleicht einen kleinen Denkanstoß geben?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-03


Was ist denn $\displaystyle
\sup_{\|y\|=1}|\langle z,y\rangle|$ für einen beliebigen Vektor $z$ ?



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


2020-06-03 22:45 - zippy in Beitrag No. 3 schreibt:
Was ist denn $\displaystyle
\sup_{\|y\|=1}|\langle z,y\rangle|$ für einen beliebigen Vektor $z$ ?

Ich komm nicht drauf... Ich habe eine Blockade



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


2020-06-03 22:52 - Nullring in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-06-03 22:45 - zippy in Beitrag No. 3 schreibt:
Was ist denn $\displaystyle
\sup_{\|y\|=1}|\langle z,y\rangle|$ für einen beliebigen Vektor $z$ ?

Ich komm nicht drauf... Ich habe eine Blockade

Könnt ihr mir vielleicht das ganze kurz erläutern, verzweifle daran gerade.



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


2020-06-03 22:45 - zippy in Beitrag No. 3 schreibt:
Was ist denn $\displaystyle
\sup_{\|y\|=1}|\langle z,y\rangle|$ für einen beliebigen Vektor $z$ ?

Ich komme nur darauf, dass es das Supremum eines Funktionals ist. Aber das hilft mir hierbei ja nicht oder?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-03


Setze doch mal $y=z/\|z\|$ ein.



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


2020-06-03 23:40 - zippy in Beitrag No. 7 schreibt:
Setze doch mal $y=z/\|z\|$ ein.

Somit komme ich auf \(sup \langle z,y \rangle = \Vert z \Vert \)



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-03


Dann sollte doch auch klar sein, was passiert, wenn du jetzt $z=Tx$ setzt und das Supremum über $\|x\|\le1$ bildest.



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


2020-06-03 23:51 - zippy in Beitrag No. 9 schreibt:
Dann sollte doch auch klar sein, was passiert, wenn du jetzt $z=Tx$ setzt und das Supremum über $\|x\|\le1$ bildest.

Aber ich kenne doch nicht den Wert \( \Vert Tx \Vert \), der muss doch nicht 1 sein oder?



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


2020-06-03 23:51 - zippy in Beitrag No. 9 schreibt:
Dann sollte doch auch klar sein, was passiert, wenn du jetzt $z=Tx$ setzt und das Supremum über $\|x\|\le1$ bildest.

Kannst du mir das in Worten bitte kurz erläutern? Ich sitze jetzt seit Stunden an diesem Problem und langsam verzweifle ich einfach.

Ich drehe mich mit den Rechnungen nur mehr im Kreis



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Nullring
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Ich glaube ich habs, ich schreibs mal auf.



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Also, es gilt: \[\langle Tx, \frac{Tx}{\Vert Tx \Vert} \rangle = \Vert Tx \Vert\]
Somit:

\[ \sup_{ \Vert x \Vert \leq 1, \Vert y \Vert \leq 1} \vert \langle Tx,y \rangle \vert \geq \sup_{ \Vert x \Vert \leq 1}\langle Tx, \frac{Tx}{\Vert Tx \Vert} \rangle =  \sup_{ \Vert x \Vert \leq 1} \Vert Tx \Vert = \Vert T \Vert \]
Und da \(\Vert T \Vert \geq  \sup_{ \Vert x \Vert \leq 1, \Vert y \Vert \leq 1} \vert \langle Tx,y \rangle \vert \) klar war folgt die Aussage.



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