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Zahlentheorie » Experimentelle Zahlentheorie » Verteilung der Summen zweier Primzahlen
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Schule Verteilung der Summen zweier Primzahlen
maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-04


Bin auf ein seltsames Bild einer Verteilung gestossen und finde keine Erklärung dafür.

Wenn ich die Summenwerte zweier Primzahlen (jweils von 3 bis 10^7) bilde und sie dann nach der Häufigkeit ordne, ergibt sich folgendes Bild, welches sich im wesentlichen bereits bei der Obergrenze 10^3 einstellt.
Ich verstehe den "Knick" nicht.



Anstelle der Primzahlen kann man auch eine Zahlenfolge ungerader Zahlen mit zunehmendem Abstand wählen.



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-04


Wie ist den "Summerwert" definiert ? Bsp ?

Hatte anfangs vermutet, der Abstand 2er benachbarter Primzahlen...aber der ist bis 10^7 schon bei 154


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-04


Du machst mutmaßlich etwas falsch. Die Kurve sollte keinen Knick haben.


Python
def primes(N):
    L = [1 for i in range(N+1)]
    p = 2
    while p*p <=N:
        for t in range(2*p,N+1,p):
            L[t] = 0
        p += 1
        while p*p <= N and L[p] == 0:
            p += 1
    return [p for p in range(2,N+1) if L[p]]
 
 
MAX = 10000
P = primes(MAX)[1:]
S = {}
 
for p in P:
    for q in P:
        n = p+q
        if n>MAX:
            continue
        if n not in S:
            S[n]=0
        S[n] += 1
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
X = [n for n in S]
Y = [S[n] for n in S]
 
plt.scatter(X,Y,s=1)
plt.show()
 
 


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-04


@DerEinfaeltige Vermute, das dies nicht gemeint war.

Wie ich das da oben einschätze, soll das vielleicht doch der Abstand 2er Primzahlen sein, wobei auf der x-Achse die Häufigkeit der kleinen Differenzen ist und y-Achse der Wert des Abstandes...

Aber das soll der TE nochmal klären. Es fehlt nämlich die Achsenbeschriftung.


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maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Zum Verständnis:  Die Summe zweier Primzahlen sei   s(k,l) = p(k) + q(l)
mit k, l <= 10^7.
Anschließend werden die s(k,l) nach dem WERT w gezählt, also mit w=s(k,l) wird  h(w) für alle Paarungen (k,l) ermittelt. Die Kurve h(w) ist dargestellt. w ist die x-Achse und h(w) die y-Achse.
Im Zahlenbeispiel ist der Maximalwert von w etwa 16.000 und h(w) etwa 140.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Für die "Programmierer":

void PSV::calc_distribution()
{
    size_t i;
    max_sum_count = 0;
    for ( i=3; i<prime_numbers_range/2+1; i++ )
        if ( sum_count[i] > max_sum_count )
            max_sum_count = sum_count[i];

    if ( distribution != nullptr )
        delete[] distribution;
    distribution = new Number[max_sum_count+1];
    for ( i=0; i<max_sum_count+1; i++ )
        distribution[i] = 0;

    for ( i=3; i<prime_numbers_range/2+1; i++ )
        distribution[sum_count[i]]++;
}

int main()
{
    Number limit { 10^7 };
 
    PSV.set_range(limit);
    PSV.calc_prime_numbers();
    PSV.calc_sum_count();

    PSV.calc_distribution();




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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-04


Ich verstehe nicht, was du tust.


Was genau sind die Funktionen $p$ und $q$ und der Wert $w$?

$h$ soll wohl die absolute Häufigkeit darstellen.

Rechne das Ganze doch mal für kleine Werte (bspw. $i,j\leq10$) vor.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Darstellung zum Nachprüfen:
Primzahlen ab        1 bis       40
Anzahl        11
Zahl von      3  
Zahl bis      37
max.Abstand   6             29            23
mit Diagonalen (p=q), dh. Dreieck
Summen p+q bis max 40
Zahlen:   3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37
  Su p+q   wie oft    
       6     1      *
       8     1      *
      10     2      **
      12     1      *
      14     2      **
      16     2      **
      18     2      **
      20     2      **
      22     3      ***
      24     3      ***
      26     3      ***
      28     2      **
      30     3      ***
      32     2      **
      34     4      ****
      36     4      ****
      38     2      **
      40     3      ***
hier nochmal einzeln dargestellt:
      6   1|   3+   3
      8   1|   3+   5
     10   2|   3+   7|   5+   5
     12   1|   5+   7
     14   2|   3+  11|   7+   7
     16   2|   3+  13|   5+  11
     18   2|   5+  13|   7+  11
     20   2|   3+  17|   7+  13
     22   3|   3+  19|   5+  17|  11+  11
     24   3|   5+  19|   7+  17|  11+  13
     26   3|   3+  23|   7+  19|  13+  13
     28   2|   5+  23|  11+  17
     30   3|   7+  23|  11+  19|  13+  17
     32   2|   3+  29|  13+  19
     34   4|   3+  31|   5+  29|  11+  23|  17+  17
     36   4|   5+  31|   7+  29|  13+  23|  17+  19
     38   2|   7+  31|  19+  19
     40   3|   3+  37|  11+  29|  17+  23

Haeufigkeitsverteilung
     1 Paare   3-mal
     2 Paare   8-mal
     3 Paare   5-mal
     4 Paare   2-mal

   wie oft    Anzahl                    
     1        3  ***
     2        8  ********
Knickstelle
     3        5  *****
     4        2  **
        Su          18    
Für die Frage: was ist welche Achse?   "wie oft" ist die x-Achse und "Anzahl" ist die y-Achse



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-04


Alles klar.

Also nach dem Bild sollten rund 4000 Zahlen bis 10^7 geben , wobei sich jede Zahl als ~140 Primzahlpärchen bilden?

bzw. rund 16000 Zahlen, die sich lediglich nur aus <10 Kombinationen bilden.




Anmerkung:

Der erste Teil bis 4000 ist ähnlich wie die Grafik von StrAltEntf, danach der Einbruch schließe ich aus einem Programmfehler, denn es werden wohl kaum 16000 Zahlen geben, die nur aus wenigen Kombinationen zusammenkommen. Je höher die Zahl, desto stetig steigen die Kombinationen in der Anzahl zu einer Zahl.


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maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Die Frage ist richtig - sorry, wenn man als Beispiel die Häufigkeit 140 also 4000 Paaren zuordnet. Die Denke ist ja etwas auf den Kopf gestellt.
Erstaunlich ist, dass diese Art von Verteilung nur auftritt, wenn die Zahlenfolge (zB. Primzahlen oder andere) bei zunehmenden Zahlen langsam im Durchschnitt einen zunehmenden Abstand hat. Was man auch mit der Aussage:  die Anzahl der Zahlen (Dichte) nimmt mit zunehmenden Werten ab. Dies ist ja in der Verteilfunktion (Grafik) der Primzahlen über den ln veranschaulicht.



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-04


Dann weiß ich nicht weiter...


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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-06-04


Diese Herangehensweise ist A-typisch in jeglicher Hinsicht und hat nur indirekt was mit Verteilung und Summen zu tun.

So wie ich es verstehe, wird gezählt, auf wieviel verschiedenen Wegen man "irgendwie" (denn manchmal werden 2 unterschiedliche, manchmal benachbarte, nachmal 2 weit entfernte Primzahlen ... und manchmal sogar 2 gleiche) den vorgegebenen Summenwert berechnen könnte.

Kein Wunder also, dass bei so einer "krummen Logik" auch eine "krumme Grafik" entsteht.

Die Knicke entstehen, wenn Primzahllücken die Bildung von Summen "stören" (weniger Primzahlen in einem Bereich bedeutet weniger Möglichkeiten aus 2 Primzahlen den gewünschten Summenwert zu bilden).
Die übliche Grafik dafür sieht aber so aus:



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maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Es liegt definitiv kein Fehler vor. Wir sind eine Gruppe von Wissenschaftlern  (Mathematiker, Physiker, Elektroing.) welche diese Problematik mehrfach geprüft haben. Die Fragestellung ist aufgetreten, bei der Fehlerreduktion beim Quantencomputer. Wir haben Gegenbeispiele mit nur ungeraden Zahlen in unterschiedlichsten Folgen geprüft. Wenn man die Sache sehr flach angeht, dann kann man die Fragestellung auf einen Versuch mit zwei Würfeln (die Paarlieferanten) mit n (=10^7) Seiten(Möglichkeiten) reduzieren, wobei Wiederholungen gleicher Paarungen ausgeschlossen sind. Das Ergebnis wäre dann mit einer POISSON-Verteilung vergleichbar.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]



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maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Es ist keine "krumme" Logik, sondern Zahlentheorie. Wenn man als Zahlenfolge die ungeraden Zahlen z.B. ohne die 3-er und 5-er nimmt, dann entsteht auch ein "Knick".



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maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Wenn man die  logarithmische Näherung für PZ = x / (ln(x) - 1,08366) verwendet und damit die Zahlenfolge erzeugt, dann sind die Abstände nicht sprunghaft und es gibt keine Lücken-Schwankungen. Trotzdem ist die Auswertung nahezu identisch. Erst nach dem Knick tritt eine Abweichung ein.



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-06-04


Mittlerweile ist jedenfalls klar, was du gegeneinander aufträgst. :)

Das ging (anscheinend nicht nur für mich) aus den ersten Beiträgen nicht hervor.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]


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maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Hier das Schaubild für die Pseudo-PZ



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-06-04


$$\large{Anzahl \ Paare \ nach \ Häufigkeit \ bis \ Summe \ 40 }$$ $$ \begin{array}{c|c|}
Anzahl Paare&Häufigkeit\\\hline
 1&3\\\hline
 2&8\\\hline
 3&5\\\hline
 4&2\\\hline
\end{array}
$$


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Gruß blindmessenger



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-06-04


Meine Vermutung:

Die Verteilung ist eine Art Fraktal und ist abhängig vom Intervall welches Du betrachtest...

Der Knick wird immer da sein... Je größer das Intervall desto weiter verschiebt sich der Knick nach rechts...


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Gruß blindmessenger



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2020-06-04


> Für die Frage: was ist welche Achse?   "wie oft" ist die x-Achse und "Anzahl" ist die y-Achse

Also zu meinem Verständnis:

Ca 16000 Summationen von 2 Primzahlen die exakt ein Zahl X ergeben , sind in der Häufigkeit sehr wenig.

und !

Ca 140 Zahlen X gibt es, die ca. durch 4000 Summationen von 2 Primzahlen eine Zahl X bilden.

Die Frage bzgl Knick:

Wieso fällt die Anzahl an Zahlen X , wenn die Kombinationen zur Bildung von X ansteigt ?

Meine Vermutung:

Knick, weil mit steigendem X die Primzahlen für mögliche Kombination zu einem größeren N log. abnehmen, am Anfang aber durch die höhere Dichte an Primzahlen kleinere N auf mehreren Wegen gebildet werden können.

Anderer Fakt:

Mit steigendem N ( 3...10^7 ) gibt es zu jedem N immer zig 1000 Kombinationen. Keine Zahl wird dann mit nur 4000 Kombinationen auskommen.


Was mich stört, es gibt noch eine Dritte Größe, nämlich welches Interval von N gerade ausgewertet wird. Mir kommt das vor, das bei x/y Wertepaar sich permanent das Interval noch ändert.

Irgendwo, wird es 140 Zahl in einem Intervall geben, die aus 4000 Möglichkeiten gebildet werden können, die sind aber in einem anderem Intervall auch vorhanden 🤔 , also die Kurve dürfte nicht abfallen...es sei denn weiter hinten wertet man nur noch 100000 - 200000 aus und wundert sich, dass es keine Zahlen mehr gibt die nur paar Kombinationen haben, während man vorne 100-10000 betrachten und nie über 4000 hinauskommt.



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Ixx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-06-04


Was hier gemacht wird, ist offenbar eine Art von Goldbach-Betrachtung (Darstellung gerader Zahlen als Summe zweier Primzahlen) mit Nebenbedingung (größerer Summand kleiner als eine vorgegebene Schranke).



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2020-06-04


Das war Quatsch...


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Gruß blindmessenger



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Also das mit dem INTERVALL ist nicht bedeutend, da immer nur die Zahlenfolgen mit den Zahlenwerten [3,10^n) verwendet werden.
Ich habe mal den Knick(grob) und das letzte Paar(exakt) zusammengefasst:
Grenze     Knick     Paargrenze
10^5      517/ 74    2.168
10^6    3.929/102   15.594
10^7   29.000/136  124.180
Der Knick und die Paargrenze vergrössern sich etwa um Faktor 8 je Zehnerpotenz. Das werde ich nochmal exakt darstellen.

Die Idee mit einem Fraktal bitte ich ausführlicher darzustellen.

Insgesamt sind die Schaubilder mit einem Signifikanzwert von 92% unter Massstabanpassung deckungsgleich von 10^3 bis 10^7



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.20 begonnen.]



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2020-06-04


Fraktal im Sinne von: Die Proportionen der Kurve bleiben immer gleich für beliebige Intervalle...

Aber das ist wohl trivial...


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Gruß blindmessenger



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2020-06-04


Hab mir nochmal Gedanken gemacht , wegen dem Knick.

Ich sage es mal so:

Betrachtet man immer größere Zahlen, dann hat man bzgl eine fest gewollten Kombinationsanzahl (Bsp 14004) nur noch sehr wenige Zahlen. Im Graph ~4. Steigen die Kombinationen , wird dies auf ~1 fallen.

Zu Beginn (sehr kleine N) hat man viele Primzahlen in Relation zu N und kann auf Grund dessen viel mehr Kombinationen  zu einer Zahl erwarten, die exakt zum Bsp. 2003 Kombis haben.

Keine Ahnung, ob das mal so betrachtet wurde....

Das erinnert mich an eine Ableitung einer komplizierten Funktion, die ein Maximum hat.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]





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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2020-06-04


Das mit dem Fraktal halte ich für keine Blöde Idee



Man könnte dies so verstehen, dass bei einer starken Vegrößerung im Intervall 14000-16000 auch ein Maximum gibt, der zum Bsp in der Anzahl bei 10^8 und mehr nie!!! wieder erreicht wird.

Es stellt sich quasi die spannende Frage, ob es eine Kombination gibt (nun kommt es !!!) die überhaupt nicht vorkommt ?!

Zum Bsp. Gibt es keine gerade Zahl, die sich aus Summe 2er Primzahlen in den Möglichkeiten der Kombination nie 97987491741 hat.


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Hallo Ixx,
die GBV ist nur zufällig damit vergleichbar, weil die Summe zweier Primzahlen immer eine gerade Zahl ergeben. Der fachliche Hintergrund ist anders. Wir erhalten von Generatoren jeweils zufällige Primzahlen, welche in Quaternionen eingehen, die dann für Berechnungen (Quantencomputer) Ergebnisse liefern, welche aber mehrdeutig sind, wie hier vereinfacht als Summe zweier Primzahlen-Paarungen. Welche UR-Primzahlen dann aber "gültig" waren/sind, ist zu bestimmen.

Wenn ich davon ausgehe, dass GVB genehmer ist, dann mal bitte eine Erklärung für den Knick.

Es werden übrigens immer ALLE Kombinationen aller Zahlen bestimmt und es gibt keine OBER-Grenze, ausser den 10^n Werten. Für die Summenzahlenauswertung kann man wahlweise auch nur die Summenwerte bis zu einer bestimmten Grenze verwenden. Es muss nicht 2*(10^n) sein. Dass Ergebnis ist dasselbe Bild. Allerdings ist es falsch, wenn man zuerst 10^5 berechnet und dann nur noch die fehlenden Zahlenbereiche bis zu 10^6 usw dazunimmt.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.22 begonnen.]



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maggiore
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Hallo pzktupel,
GVB sagt umgekehrt, dass es vermutlich zu jeder geraden Zahl eine Primzahlpaar gibt. Das ist aber nicht meine Frage. Strukturell ist die GVB richtig. Bloß der Beweis steht noch aus.
Aus der GVB-Diskussion halte ich mich aber raus.



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Ixx
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Ohne die Nebenbedingung sollte man eine Kurve der Form $\mathcal{O}(\ln n)$ erhalten: Mit steigender Zahl $m$ gibt es immer mehr Darstellungen von $m$ als Summe zweier Primzahlen. Da diese Anzahl aber sublinear steigt, wächst damit auch die Anzahl der Zahlen mit vorgegebener Anzahl an Zerlegungen.

Mit der Nebenbedingung streicht man nun aus den Darstellungen der Zahl m als Summe zweier Primzahlen  alle diejenigen heraus, bei denen ein Summand größer als die vorgegebene obere Schranke N ist. Das führt dazu, dass der kleinere Summand immer größer werden muss, also die Anzahl der Darstellungen für ein $m>N$ schnell abnimmt, da gerade die eher häufigeren Darstellungen mit einem kleinen Summanden ausgeschlossen werden.

Ich würde sehr stark erwarten, dass dein beobachteter Effekt nichts mit Primzahlen zu tun hat, sondern sich auch mit jeder anderen genügend dichten, aber immer dünner werdenden Zahlenmenge beobachten lässt. Man kann ja mal z.B. Quadratzahlen o.Ä. anschauen...



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2020-06-04


2020-06-04 21:09 - maggiore in Beitrag No. 27 schreibt:
Hallo pzktupel,
GVB sagt umgekehrt, dass es vermutlich zu jeder geraden Zahl eine Primzahlpaar gibt. Das ist aber nicht meine Frage. Strukturell ist die GVB richtig. Bloß der Beweis steht noch aus.
Aus der GVB-Diskussion halte ich mich aber raus.

Das weiß ich, hier ist die Frage, warum nur eine begrenzte Anzahl von geraden Zahlen ( maximal ~140) ein fester (oder ein kleines Intervall an Kombinationen ~3800 ) gibt und dann die Anzahl der Zahlen bzgl einer festen Kombi stetig abnimmt und sich nie wieder zu einer festen Kombination ~140 Zahlen finden lassen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.27 begonnen.]


-----------------
Pech in der Liebe , Glück im Verlieren !!!



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maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Hallo Ixx,
genau das ist richtig. Die Verteilung der Zahlenfolge kann auch die Häufigkeit der Buchstaben in einem Text (zB Deutsch-Verteilung) sein. Auch das ist das so. Das habe ich aber bereits in obigen Beiträgen von mir erwähnt, dass jede Zahlenfolge mit mit fallender Dichte sich ähnlich verhält. Aber trotzdem haben wir den "Knick" noch nicht erklärt.
Hier die ungeraden Zahlen bis 10^3 ohne die 3-er/5-er

Interessant ist, dass die Dichte eigentlich immer gleich ist.



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maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-05


Hallo DerEinfaeltige, in dem Beitrag No.2 ist das folgende Bild

Wenn man die Punkte nach links auf die y-Achse "summiert", dann entsteht genau "meine" Summenkurve. Für 10^5 ist der "höchste" Punkt 2.168, welcher genau meinem "höchsten" Wert auf der Paar-Anzahl-Achse (x) entspricht.
Wenn ich also die Umkehr meiner Summenbildung von zwei PZ nehme, d.h. die Zerlegung einer geraden Zahl in alle möglichen Paare von PZ, sind wir bei GBV.
Trotzdem bleibt meine Frage offen: wie lässt sich der "Knick" erklären?



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willyengland
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, eingetragen 2020-06-05


Echt interessant!
Mich würde interessieren, wie die Kurve aussieht, wenn man gleichverteilte Zahlen benutzt.
Vielleicht könntest du die Kurve mal für die natürlichen Zahlen darstellen?



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maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-05


Hier die natürlichen Zahlen bis 10^3 lückenlos

und jetzt ohne die 3-er und 5-er




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willyengland
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.34, eingetragen 2020-06-05


Hmm ... bei den natürlichen Zahlen ist es immer 2?
Ich dachte, ich hätte verstanden, was du da aufträgst, aber anscheinend immer noch nicht.
Der ganze Thread krankt daran, dass nicht klar ist, was da überhaupt genau gemacht wird.
Ich dachte, du machst folgendes:

- Bilde alle möglichen Summen zwischen je 2 Primzahlen.
Hier schon die erste Frage: Gilt (3,2) und (2,3) als verschieden, zählt also zwei mal?

- ordne die Summen und zähle, wie oft jede Summe auftritt
z.B. tritt die Summe S1 x1-mal auf.

- Zähle, wie oft man x1, x2, x3 ... findet.
z.B. x1 finde ich f1 mal.

- Trage f(x) auf.



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.35, eingetragen 2020-06-05


Ich hatte hier einen ziemlich langen Text geschrieben, als mein Rechner abstürzte. Jetzt leider nur noch die Kurzfassung.

Die scharfen "Knicke" bei etwa 4000 und 8000 in der Grafik im Themenstart entstehen durch überlagerung mehrerer Kurven.
Den stärksten Einfluss hat die Teilbarkeit durch 3. Daher werde ich den Effekt an diesem Beispiel erklären. Aber prinzipiell spielen auch die Teilbarkeit durch andere Primzahlen eine (entsprechend kleinere) Rolle.

Teilbarkeit durch 3
-------------------
Abgesehen von der 3 selbst ist keine Primzahl durch 3 teilbar. Wenn man also eine Zahl s als Summe zweier Primzahlen p und q darstellen will, dann dürfen (abgesehen von den Fällen p=3, q=s-3 und p=s-3, q=3) p und q nicht durch 3 teilbar sein.

Wir unterscheiden drei Möglichkeiten: Die Summe s lässt bei Division durch 3 den Rest 0, 1 oder 2.
Welche Reste kommen für p in Frage, so dass weder p noch q=s-p durch 3 teilbar sind?
Im ersten Fall kann p modulo 3 die Reste 1 und 2 haben.
Im zweiten Fall passt nur der Rest 2 und im dritten Fall nur der Rest 1.

Die Bedingungen "p+q=s" und "p und q sind nicht durch 3 teilbar" erfüllen also in etwa doppelt so viele Paare (p; q), wenn s durch 3 teilbar ist, im Vergleich zum dem Fall, in dem s nicht durch 3 teilbar ist.

Wertet mal die beiden Fälle getrennt aus und ihr werdet feststellen, dass ihr zwei Kurven erhaltet, die sich im Verlauf ähneln, wobei die eine schmaler und höher ist (die Fälle, in denen S nicht durch 3 teilbar ist), während die andere breiter, aber flacher ist (die Fälle, in denen S durch 3 teilbar ist). Die Überlagerung ergibt dann das Gesamtbild.

Die Teilbarkeit durch andere Primzahlen spielt auch eine Rolle. Bei einer Summe s, die durch eine Primzahl k teilbar ist, kann der Summand p isgesamt k-1 verschiedene Restklassen mod k annehmen, während es bei nicht durch k teilbaren Summen s nur k-2 Restklassen sind.
Eine Zahl, die durch 5 teilbar ist, hat also im Mittel ein Drittel mehr mögliche Summanden-Paare.
Die Zahlen oberhalb von 8000 sind hauptsächlich Summen, die durch 3 _und_ 5 teilbar sind. Oberhalb von 10670 kommt dann typischerweise noch die Teilbarkeit durch 7 hinzu usw.

Bei N=$10^6$ sind die drei Werte mit der höchsten Zahl an Zerlegungen:
2*3*5*7*11*13*(31, 32, 33).

Die Sichtweise mit dem Fraktal ist also gar nicht verkehrt.
Die gesamte Kurve ist die Summe aus vielen einzelnen zueinander "ähnlichen"(*) Teilkurven.

(*) Wobei allerdings die Streckungsfaktoren entlang der beiden Koordinaten-Achsen unterschiedlich sind.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.31 begonnen.]



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maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-05


Nochmal ganz einfach zum Nachdenken: mein obiges Beispiel mit den zwei Würfeln mit n Seiten ist mit einem einfachen Würfel mit 6 Seiten nachspielbar.
Jetzt würfelt man mit beiden Würfeln gleichzeitig. Dann addiert man die beiden obenliegenden Werte. Das ist ein möglicher "Summen"-Wert.
Schreibt man sich den Summenwert und die beiden Werte auf und wiederholt das Würfeln, dann wird man fallweise dieselben Werte (=Paare) erhalten, welche aber nicht notiert werden, da es sich um "Wiederholungen" handelt.
Es gibt dann beim normalen Würfel insgesamt folgende Summen:
2 = (1+1), 3 = (1+2), 4 = (1+3) und (2+2), 5 = (1+4) und (2+3),
6 = (1+5) und (2+4) und (3+3), 7 = (1+6) und (2+5) und (3+4),
8 = (2+6) und (3+5), 9 = (3+6) und (4+5), 10 = (4+6) und (5+5),
11 = (5+6), 12 = (6+6)
Die 4 Summen 2, 3, 11, 12 können nur genau mit 1 Paar gebildet werden.
Die 5 Summen 4, 5, 8, 9, 10 werden durch 2 Paarungen möglich.
Die 2 Summen 6, 7 werden durch 3 Paarungen möglich.
Trägt man die Paarzahl der x-Achse auf und dazu auf als y-Wert die Anzahl der Summenmöglichkeiten, dann ergibt sich das "Summenbild"
5     #
4 x  
3
2         x
1
+ 1 2 3>
der "Knick" ist also bei (2,5) als # dargestellt.
 








[Die Antwort wurde nach Beitrag No.34 begonnen.]



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maggiore
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-05


Ich stimme Kitaktus in vollem Umfang zu. Alle Zahlenwerte stimmen, vor allem die Aufteilung 1:1:2 bei den mod-Betrachtungen.
Auch stimmen die höchsten Werte zu 10^6, welche genau nur einmal vorkommen.
Warum ist aber ziemlich genau bei einem Viertel (Paaranzahl) der starke Abfall? Solle das wirklich an der 2*3*5*7*11*(31,32,33) - Systematik liegen?
Da brauche ich eine Denkhilfe.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kitaktus
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_Wo_ sich die Abbruchkante befindet hängt m.E. von der Größenordnung der Grenze N ab.
Typischerweise hat eine Zahl mehr Zerlegungen, wenn sie größer ist. Die Kante liegt vermutlich in etwa bei der Zahl an Zerlegungen, die "große", nicht durch 3 (evtl. auch nicht durch 5) teilbare Zahlen typischerweise haben.
Diese Zahl wächst nicht linear mit N.

Ich werde diese Theorie mal experimentell überprüfen, wenn es meine Zeit erlaubt.



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