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Schulmathematik » Geometrie » Abstraktes Argument für Real-World-Problem
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Schule Abstraktes Argument für Real-World-Problem
silvia
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.08.2011
Mitteilungen: 58
  Themenstart: 2020-06-11

Hallo, ich habe einen Würfel, der aus 9 Teilen besteht. Dabei gibt es zwei Sorten von Teilen. Zusammengebaut soll der Würfel aussehen wie im folgenden Bild illustriert. Hier sind auch die zwei Sorten von Teilen zu sehen, aus welchen der Würfel besteht. Sagen wir das linke Teil ist von der Sorte A und das rechte Teil ist von der Sorte B. Von der Sorte A haben wir nur 3 Teile und von der Sorte B haben wir 6 Teile. Würfel Meine Frage ist nun: Ist es möglich, den Würfel auch dann wie gewünscht aufzubauen, wenn man 4 Teile der Sorte A und 5 Teile der Sorte B hätte? (Und die zweite Frage wäre wie es ist wenn man 2 Teile der Sorte A und 7 Teile der Sorte B hätte). Vielleicht gibt es hier ein einfaches (abstraktes) Argument? Denn wir wissen, dass sich der Würfel wie gewünscht zusammenbauen lässt, wenn wir 3 Teile der Sorte A und 6 Teile der Sorte B haben und in meinen Fragen verändern sich die Anzahlen jeweil nur um 1... PS: Danke noch viertel, dass Du damals diese Zeichnung angefertigt hast... :-) Liebe Grüße Silvia

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haribo
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Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4496
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-11

Unfertiger Ansatz: Sowohl A als auch B hat jeweils einen ungebohrtes Teil-Drittel, für dieses Drittel gibt es im großen 3x3x3er Würfel die acht eckpositionen und die Mitte, also sei das Teil welches die Mitte stellt das Startteil für welches es, egal ob A od B, nur eine Lage gibt, also kann man davon ausgehend versuchen die acht Ecken zu belegen und dabei jeweils abstrakte Listen aus A und B führen Dabei wird es Ausschlüsse geben: zB A in der Mitte kann in seiner innenecke nur mit einem weiteren A belegt werden... Ich vermute bei der bisherigen Lösung A3B6 war das der Start.. haribo

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tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2864
  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-11

Man färbe den Ergebniswürfel ein, und zwar schachbrettartig, so dass die 8 kleinen Eckwürfel schwarz sind und kleine Würfel, die eine Fläche gemeinsam haben, verschieden Farben haben. Es ergibt sich eine gewisse Anzahl von kleinen Würfeln mit einem Rohrstück, die weiß sind (12), und eine gewisse Anzahl von kleinen Würfeln mit einem Rohrstück, die schwarz sind (6). Diese Anzahlen sind immer gleich, egal, wie der große Würfel zusammengesetzt wird. Die beiden Würfel mit Rohrteilen in einem Teil der Sorte A sind aber immer gleich gefärbt, egal, wo so ein Teil im großen Würfel landet, während die in einem Teil der Sorte B immer unterschiedlich gefärbt sind. Ersetzt man also ein Teil der Sorte A durch ein Teil der Sorte B (oder umgekehrt), und hat man vorher eine Lösung gehabt, kann es hinterher keine Lösung geben. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

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StrgAltEntf
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-11

Hallo, habe mal tactacs Ansatz verfeinert. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35803_w_rfel_g2.PNG https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35803_w_rfel.PNG Es sei \(a_1\) die Anzahl der A-Teile, die aus zwei schwarzen und einem weißen Teilwürfel bestehen. \(a_2\) sei die Anzahl der A-Teile, die aus einem schwarzen und zwei weißen Teilwürfeln bestehen. Entsprechend sei \(b_1\) die Anzahl der B-Teile, die aus zwei schwarzen und einem weißen Teilwürfel bestehen. \(b_2\) sei die Anzahl der B-Teile, die aus einem schwarzen und zwei weißen Teilwürfeln bestehen. Dann gilt \(a_1+a_2+b_1+b_2=9\) Zähle die schwarzen Teilwürfel: \(2a_1+a_2+2b_1+b_2=14\) Zähle die schwarzen Teilwürfel mit Rohr: \(2a_1+b_1+b_2=6\) Zähle die weißen Teilwürfel mit Rohr: \(2a_2+b_1+b_2=12\) Zähle die schwarzen Teilwürfel ohne Rohr: \(a_2+b_1=8\) Zähle die weißen Teilwürfel ohne Rohr: \(a_1+b_2=1\) Dieses Gl.system besitzt zwei Lösungen mit Zahlen aus \(\IN\): 1. \(a_1=0,a_2=3,b_1=5,b_2=1\) 2. \(a_1=1,a_2=4,b_1=4,b_2=0\) Im ersten Fall haben wir 3 A-Teile und 6 B-Teile Im zweiten Fall haben wir 5 A-Teile und 4 B-Teile

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tactac
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  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-11

Oder ganz einfach, bezüglich der originalen Fragestellung: Mit der Einfärbungsidee wie in meinem vorherigen Eintrag: Die Anzahl der weißen kleinen Würfel mit einem Rohrstück drin muss gerade sein (exakt 12). Da A-Teile nichts daran ändern, ob die Anzahl gerade ist, B-Teile aber sehr wohl, braucht man eine gerade Anzahl von B-Teilen. 5 und 7 scheiden also als Anzahl aus.

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haribo
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Mitteilungen: 4496
  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-11

Sehr geschickt argumentiert, tactac Es gibt 6 rohrmittelstücke mit einem Teil A kann man durch die Mitte gelegt maximal zwo davon abdecken, mit B jeweils nur eins, es sind also >= 4 Stück B erforderlichen Bleibt die Frage ob es für Strings 5A und 4B eine Lösung gibt

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silvia
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Mitteilungen: 58
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-11

Lieber haribo, lieber StrgAltEntf, lieber tactac! ich danke euch vielmals! Das sind sehr schöne abstrakte Argumente! Liebe Grüße Silvia

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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
StrgAltEntf
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Wohnort: Milchstraße
  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-12

Hallo Silvia, \quoteon(2020-06-11 18:35 - haribo in Beitrag No. 5) Bleibt die Frage ob es für Strings 5A und 4B eine Lösung gibt \quoteoff Hast du das mal probiert? Grüße StrgAltEntf

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haribo
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  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-12

5A 4B Geht, so gibt es also zwei Lösungen, Da es jeweils 2x3er teilflächen bestehend aus A+B gibt die insich spiegelfähig sind Komme ich auf insgesamt acht unterscheidbare Varianten

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