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  Periodizität der Lösungen einer trigonometrischen Gleichung gesucht |
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minusphalbe
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 |  Themenstart: 2020-06-13
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Hallo!
\(5\sin ^{ 2 }{ \left( x \right) } -10\cos ^{ 2 }{ \left( x \right) -1=0 }\)
habe ich aufgelöst mit Substitution \(y=\sin { \left( x \right) }\) zu \({ x }_{ k }=\sqrt { \frac { 11 }{ 15 } } +2k\pi\) mit \(k=\dots -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\) .
Das ist laut Buch falsch, denn die Periode muß \(k\pi\) lauten. Darüber habe ich längere Zeit nachgedacht und bin dann auf folgende mögliche Erklärung gekommen:
Im Verlauf der Rechnung nimmt \(y\) nicht nur den Wert \(+\sqrt { \frac { 11 }{ 15 } }\), sondern auch \(-\sqrt { \frac { 11 }{ 15 } }\) an. Ich erhalte somit also zwei Lösungen, die nach dem Einsetzen in die Ausgangsgleichung diese wegen der Quadrate der Winkelfunktionen lösen.
Mit der Ausgangsgleichung \({ x }_{ k }={ x }_{ 0 }+2k\pi\) habe ich dann eigentlich zwei Werte \({ x }_{ { 0 }_{ 1 } }\) und \({ x }_{ { 0 }_{ 2 } }\). Und weil ich weiß, daß der Sinus mit der Periode \(\pi\) betragsgleiche Funktionswerte mit alternierenden Vorzeichen annimmt, darf ich beide periodisch wiederkehrenden Lösungen in einer einzigen zusammenführen.
(Darüber hinaus gibt es dann noch einen alternativen Wert \(\overline{ x } _{ 0 }=\pi -{ x }_{ 0 }\), für den die bisherigen Überlegungen entsprechend gelten.)
Ist diese Überlegung so richtig?
Viele Grüße,
minusphalbe
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Buri
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-13
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Hi minusphalbe,
du musst noch die Umkehrfunktion vom Sinus nehmen, um auf deine xk-Werte zu kommen.
Gruß Buri
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minusphalbe
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-13
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Hallo Buri!
Ich glaube, da habe ich das Folgende vergesssen. Meinst du das(?):
\({ y }_{ 1/2 }=\pm \sqrt { \frac { 11 }{ 15 } } \Rightarrow \sin ^{ -1 }{ \left( { x }_{ { 1 }_{ k } }+2k\pi \right) } \approx 1,03+2k\pi \) und \(\sin ^{ -1 }{ \left( { x }_{ { 2 }_{ k } }+2k\pi \right) } \approx -1,03+2k\pi\).
Wäre damit der Rest meiner Überlegungen wegen der Periode \(k\pi\) richtig?
Viele Grüße,
minusphalbe
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Buri
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-13
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\quoteon(2020-06-13 17:40 - minusphalbe in Beitrag No. 2)
Wäre damit der Rest meiner Überlegungen wegen der Periode \(k\pi\) richtig?
\quoteoff
Hi minusphalbe,
nein. 2kπ als Periode ist schon richtig.
Gruß Buri
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minusphalbe
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-13
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Hallo Buri!
O.k., vielen Dank!
Viele Grüße,
minusphalbe
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Kuestenkind
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Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-13
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Huhu minusphalbe,
\quoteon(2020-06-13 17:40 - minusphalbe in Beitrag No. 2)
\({ y }_{ 1/2 }=\pm \sqrt { \frac { 11 }{ 15 } } \Rightarrow \color{red}{\sin ^{ -1 }{ \left( { x }_{ { 1 }_{ k } }+2k\pi \right) }} \approx 1,03+2k\pi \) und \(\sin ^{ -1 }{ \left( { x }_{ { 2 }_{ k } }+2k\pi \right) } \approx -1,03+2k\pi\).
\quoteoff
das ist natürlich großer Blödsinn - mache dir das bitte klar!
Nach der Resubstitution lauten deine Gleichungen:
\(\displaystyle (1)\quad \sin(x)=\sqrt{\frac{11}{15}}\)
\(\displaystyle (2)\quad \sin(x)=-\sqrt{\frac{11}{15}}\)
Aus (1) folgt:
\(\displaystyle x_1=\arcsin\left(\sqrt{\frac{11}{15}}\right)\) und \(x_2=\pi-x_1=\pi-\arcsin\left(\sqrt{\frac{11}{15}}\right)\)
Aus (2) folgt:
\(\displaystyle x_3=\arcsin\left(-\sqrt{\frac{11}{15}}\right)=-\arcsin\left(\sqrt{\frac{11}{15}}\right)\) und \(x_4=\pi-x_3=\pi+\arcsin\left(\sqrt{\frac{11}{15}}\right)\)
Mit Periode folgt aus \(x_1\) und \(x_4\) nun:
\(\displaystyle x=\arcsin\left(\sqrt{\frac{11}{15}}\right)+2k\pi\) und \( \displaystyle x=\pi +\arcsin\left(\sqrt{\frac{11}{15}}\right)+2k\pi=\arcsin\left(\sqrt{\frac{11}{15}}\right)+(2k+1)\pi\)
Das kannst du zusammenfassen als \(\displaystyle x=\arcsin\left(\sqrt{\frac{11}{15}}\right)+k\pi,\, k\in \mathbb{Z}\).
Gruß,
Küstenkind
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minusphalbe
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-13
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Hallo Küstenkind!
Der große Blödsinn wird das sein, nehme ich an: das Argument \(x\) des \(\arcsin\) darf nur Werte \(-1\le x\le 1\) annehmen. (Mal abgesehen von meiner -1 Schreibweise.)
Und dann müßte Folgendes richtig sein:
Mit Periode folgt aus \({ x }_{ 2 }\) und \({ x }_{ 3 }\):
\(\overline {x}=\pi -\arcsin \left( \sqrt { \frac { 11 }{ 15 } } \right)+2k\pi=-\arcsin \left( \sqrt { \frac { 11 }{ 15 } } \right)+(2k+1)\pi\) und \(\overline {x}=-\arcsin\left(\sqrt{\frac{11}{15}}\right)+2k\pi\)
Das kann zusammengefaßt werden als:
\(x=-\arcsin\left(\sqrt{\frac{11}{15}}\right)+k\pi,\, k\in \mathbb{Z}\)
Das liest sich jetzt wie bloß abgeschrieben, ich weiß. Aber gelernt habe ich, daß du verwendest \(\arcsin { \left( -x \right) } =-\arcsin { \left( x \right) }\) . Außerdem habe ich nun durch dich (ein weiteres Mal !) eine klare Form, wie so eine Lösung zu notieren wäre. Und sollte unter den nächsten 20, 30 Aufgaben, die noch vor mir liegen 8-) eine kniffligere sein, werde ich versuchen, diese korrekt(er) hier aufzuschreiben, wenn das gestattet ist. (Die arcus-Funktionen werden im Buch erst 50 Seiten später erklärt.)
Vielen Dank und
viele Grüße in den Norden :)
minusphalbe
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Kuestenkind
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-14
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Huhu,
da der Pythagoras ja gerade im anderen Thread erwähnt wurde - den kannst du hier natürlich auch verwenden:
\(\displaystyle 5\sin^2(x)-10\cos^2(x)-(\sin^2(x)+\cos^2(x))=0\)
\(\displaystyle 4\sin^2(x)-11\cos^2(x)=0\qquad |:\cos^2(x)\neq0\)
\(\displaystyle 4\tan^2(x)-11=0\iff \tan^2(x)=\frac{11}{4}\)
So spart man sich die zweite Lösung am Einheitskreis und kann gleich die Periode \(\pi\) vom Tangens nutzen.
Gruß,
Küstenkind
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minusphalbe
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Dabei seit: 24.02.2020
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-17
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Hallo Küstenkind!
Vielen Dank für deine Ergänzung! Die mich erstmal verwirrt hat. Hatte momentan nicht so viel Zeit, diese aber in deinen Hinweis investiert (und in eine Knobelaufgabe von Prof. Dr. Weitz - muß manchmal sein). :)
Dachte: \(\tan ^{ 2 }{ \left( x \right) }\) ? Wie funktioniert da wohl die Umkehrfunktion und habe das im Netz gegoogelt. Habe dann gefunden: \(\tan ^{ 2 }{ \left( x \right) } \rightarrow \arctan { \left( \sqrt { x } \right) } \). Wert eingesetzt: paßt nicht. Irgendwann probiert: \(\sqrt { \tan ^{ 2 }{ \left( x \right) } } =\sqrt { \frac { 11 }{ 4 } } \Rightarrow x=\arctan { \left( \sqrt { \frac { 11 }{ 4 } } \right) }\) Ergebnis paßt. Daher müßte es doch vermutlich eher so sein: \(\tan ^{ 2 }{ \left( x \right) } =y\Rightarrow \arctan { \left( \sqrt { y } \right) } =x\)
Außerdem habe ich die Werte am (GeoGebra-)Einheitskreis eingegeben und mir überlegt: Die Lösung einer Sinusfunktion \(\overline { { x }_{ k } } =\pi -{ x }_{ k }\), die ja unbedingt mit angegeben werden muß, ist vielleicht so eine Art redundante Lösung. Wenn man nämlich die xy-Ebene in der der Graph des Sinus verläuft um 90° auf den Betrachter dreht, sodaß dieser nur noch einen vertikalen Strich statt einer Wellenbewegung sieht, dann fällt eben \(\overline { { x }_{ k } }\) und \({ x }_{ k }\) sowie alle unendlich weiteren \(2\pi{ x }_{ k }\) Werte auf einen einzigen Punkt bzw.Sinuswert zusammen. In der praktischen Anwendung allerdings würde wahrscheinlich z.B. ein Ingenieur so eine Lösung nicht als redundant bezeichnen.
Das werden natürlich aus deiner Sicht eher triviale Überlegungen sein. Sind auch nur gedacht als Zeichen der Wertschätzung für deine (und natürlich auch Buris) Bemühungen hier um meine geringen Mathematik-Fertigkeiten. :)
Viele Grüße,
minusphalbe
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