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Analysis » Stetigkeit » Stetigkeit
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Universität/Hochschule Stetigkeit
servus1991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-17


wrum ist diese Abbildung \[
f(a):=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots
\] nicht stetig ,während \[
f(a):=1 \cdot a_{1}+\frac{1}{2} \cdot a_{2}+\frac{1}{3} \cdot a_{3}+\cdots
\] stetig \\

Die Aufgabe \\
Es sei $V$ die Menge aller Folgen $a \in$ $\ell^{2}(\mathbb{R}),$ die nur endlich viele von Null verschiedene Glieder aufweisen. Eine Linearform auf $V$ ist gegeben durch

\[
f(a):=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots
\] Diese Abbildung ist nicht stetig (warum nicht?), kann also nicht von der Form $\langle\cdot, v\rangle$ mit einem festen Vektor $v \in V$ sein. Eine andere (diesmal stetige) Linearform auf $V$ ist gegeben durch
\[
f(a):=1 \cdot a_{1}+\frac{1}{2} \cdot a_{2}+\frac{1}{3} \cdot a_{3}+\cdots
\] Es gibt aber auch hier wieder keinen Vektor $v \in V$ mit $f=\langle\cdot, v\rangle .$ Wir werden sehen, daß der tiefere Grund dafür die Nichtvollständigkeit des Raums $V$ ist. \]



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-18


1. Schritt: Finde ein Kriterium, mit dem Du auf Stetigkeit untersuchen kannst; insbesondere für Linearformen gibt es ganz einfache. Welche kennst Du?



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servus1991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-18


mittels Epsilon-Delta-Kriterum
Nehmen an, dass $|x-y|<\epsilon,$ daraus soll folgen, dass $|f(x)-f(y)|<\delta$
\[
|f(x)-f(y)|=\left|\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}-\sum_{i=1}^{\infty} b_{i}\right|
\] Da nur endlich vicle Elemente ungleich 0 sind, folgt nach geschickter Umsorticrung:
\[
|f(x)-f(y)|=\left|\sum_{i=1}^{n} a_{i}-\sum_{i=1}^{m} b_{i}\right|
\] Nehmen wir an, dass $m \leq n$ (falls nicht, dann nennen wir dic Folgen andersherum):
\[
|f(x)-f(y)|=\left|\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}-b_{i}\right)-\sum_{i=n}^{m} b_{i}\right|
\]
ich hänge hier immer noch... troztdem sollten die beiden Abbildungen nicht stetig sein .... oder wie würdest du die Nicht Stetigkeit bzw  Stetigkeit beweisen oder erklären ? danke



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-18


Finde ich umständlich; finde mal eine konvergente Folge, für die die Bildfolge unter <math>f</math> nicht konvergent ist.



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-18


Untersuche mal die Folge:
\[\theta: \mathbb{N} \rightarrow V \subset \ell_2, n \mapsto e_n\] \[e_n: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}, k \mapsto \delta_{kn}\] wobei \(\delta_{kn}\) das Kronecker Delta darstellt.

Ist die Folge konvergent? Wie sieht es mit der Operatornorm von \(f\) aus?



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-18


2020-06-18 20:34 - Nullring in Beitrag No. 4 schreibt:
Untersuche mal die Folge:
<math>\displaystyle \theta: \mathbb{N} \rightarrow V \subset \ell_2, n \mapsto e_n</math>
<math>\displaystyle e_n: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}, k \mapsto \delta_{kn}</math>
wobei <math>\delta_{kn}</math> das Kronecker Delta darstellt.

Ist die Folge konvergent?
Nein.

 Wie sieht es mit der Operatornorm von <math>f</math> aus?
Eine Norm von <math>f</math> existiert nicht, da unstetig.

Wie soll das helfen?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-18


Hallo,

Alternativ kannst du auch zeigen, dass f unbeschränkt ist, da das für lineare funktionale auf normierten Vektorräumen Äquivalent ist (vorausgesetzt ihr habt das schon gezeigt)

Grüße
 CreasY


-----------------
Smile (:



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servus1991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-18


Um die Stetigkeit mit dem epsilon-delta-Kriterium anzuwenden, braucht man eben erst mal eine Metrik. Denn die Bedingung ist ja, dass d(x,y) < epsilon sein soll....also Ohne Metrik (oder wenigstens Topologie) wird es schwierig, über Stetigkeit zu reden.

wie bist darauf gekommen, dass die Folge nicht konvergent?
meine falsche Überlegung war es:
Wenn wir uns die Epsilo-Delta-Definition von Stetigkeit anschauen, dann klappt das hier ja schon bei dem ersten nicht. Du hast ja dann stehen, dass:
f(a+epsilon)=a1+epsilon+a2+epsilon+a3+epsilon+...
Das bedeutet, du hast unendlich oft das epsilon, das bekommst du durch kein delta abgeschätzt.

Und wieso ist dann die zweite Funktion stetig
Da hätte ich ja auch nach meiner Logik a1 + epsilon, 1/2 a2 +1/2 epsilon, 1/3 a3 + 1/3 epsilon, ..., also auch etwas, das nicht konvergiert. (harmonische Reihe!)



was hat eigentlich ganz genau die Konvergenz mit der Stetigkeit zu tun ?was ist der Zusammenhang in unserem Beispiel dazwischen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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servus1991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-18


meinst du , dass die Norm bei der ersten Abbildung nicht existiert und deswegen f nicht stetig ist...

was ist die existierte Norm bei der zweiten Abbildung , sodass die zweite Abbildung stetig ist?


was hat die Norm mit der Stetigkeit zu tun? gibt es einen Satz dafür oder irgendwas

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-19


2020-06-18 21:01 - hippias in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-06-18 20:34 - Nullring in Beitrag No. 4 schreibt:
Untersuche mal die Folge:
<math>\displaystyle \theta: \mathbb{N} \rightarrow V \subset \ell_2, n \mapsto \frac{1}{n} \codt e_n</math>
<math>\displaystyle e_n: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}, k \mapsto \delta_{kn}</math>
wobei <math>\delta_{kn}</math> das Kronecker Delta darstellt.

Ist die Folge konvergent?
Nein.

 Wie sieht es mit der Operatornorm von <math>f</math> aus?
Eine Norm von <math>f</math> existiert nicht, da unstetig.

Wie soll das helfen?

Entschuldige, ich hatte mich verschrieben.



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-19


Ich hatte mich grob geirrt, entschuldigt mich!



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Nullring
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-06-19


Ich hätte es mal so gelöst. Auf das wollte ich zuvor hinaus, hatte mich aber verschrieben.
Die Lösung (Imgur Link)

Ich weiß dass diese Art zu posten nicht gerne gesehen wird, aber ich hatte gerade keine Zeit in Latex zu tippen, da ich selbst im Prüfungsmodus bin. Ich hoffe es hilft dennoch.



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