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Universität/Hochschule J Satz von Integralrechnung
servus1991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-17


wie sind wir nach dem äquivalenz-sympol$\Leftrightarrow$ darauf gekommen
\[
\begin{array}{c}

\qquad F=f^{\prime}-\lambda f \Leftrightarrow f(x)=C e^{\lambda x}+\int_{0}^{x} e^{\lambda(x-\xi)} F(\xi) \mathrm{d} \xi
\end{array}
\] wobei $D f=f^{\prime}$ und $f(x)=C e^{\lambda x}$

Die Aufgabe ist :\\
Wir definieren $D: C^{\infty}(\mathbb{R}) \rightarrow$ $C^{\infty}(\mathbb{R}) \operatorname{durch} D f=f^{\prime} .$ Wir wollen den Kern und das
Bild von $D-\lambda 1$ bestimmen. Zunächst gilt
\[
\begin{aligned}
f \in \operatorname{Kern}(D-\lambda \mathrm{id}) & \Leftrightarrow f^{\prime}-\lambda f=0 \\
& \Leftrightarrow f(x)=C e^{\lambda x}
\end{aligned}
\] Jede Zahl $\lambda \in \mathbb{K}$ ist also ein Eigenwert von $D$ (mit einem jeweils eindimensionalen Eigenraum). Ferner gilt genau dann $F \in \operatorname{Bild}(D-\lambda \text { id }),$ wenn es eine Funktion
\[
\begin{array}{c}
f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) \text { gibt mit } \\
\qquad F=f^{\prime}-\lambda f \Leftrightarrow f(x)=C e^{\lambda x}+\int_{0}^{x} e^{\lambda(x-\xi)} F(\xi) \mathrm{d} \xi
\end{array}
\] Also ist $D-\lambda$ id für jede Zahl $\lambda \in \mathbb{K}$ surjektiv. Insgesamt folgt, daß das Spektrum von $D$ ganz $\mathbb{K}$ ist.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-17


Hey servus1991,

die Gleichung \(F=f' - \lambda f\) bzw. \(f'= \lambda f + F\) ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, die mit dem Verfahren "Variation der Konstanten" gelöst werden kann. Das Ergebnis ist dann das, was auf der rechten Seite des Äquivalenzzeichens bei dir steht



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servus1991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-18


Danke :)



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