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Strukturen und Algebra » Gruppen » Definition der Norm einer Gruppe
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Universität/Hochschule Definition der Norm einer Gruppe
sulky
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Dabei seit: 21.12.2009
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-20


Hallo Zusammen,
Bei folgender Aufgabenstellung habe ich Unklarheiten und benötige Hilfe.

Zunächst die Aufgabenstellung:

Sei $G$ eine endliche Gruppe, $(V,\rho)$ eine Repräsentation von G auf $\mathbb{C}$ von endlicher Dimension, $\chi$ sein Charakter.
$1_G$ bezeichnet de linearen, trivialen Charakter von $G$ une $V^G$ den Untervektorraum der Fixpunkte von V.

i) Man betrachte die $\mathbb{C}$-lineare Abbildung von $V$ in sich selber, definiert durch:

$p=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\rho(g)$


Folgende Frage: Was bedeutet Charakter einer Repräsentation?
Den Begriff "Charakter" bzw. linearer Charakter haben wir kennengelernt als Bezeichnung für eine Repräsentation ersten Grades. Genauso wie es im folgenden Satz verwendet wird.

Aber ein Charakter einer Repräsentation, das verstehe ich nicht.
Ich frage deshalb, weil ich nicht erst bei dieser Aufgabenstellung darüber stolpere sondern bereits in der Theorie stellte ich mir mehrfach diese Frage.

Weiter Kenne ich die Definition $\|G\|$, bzw. $|G|$ nicht. Ist dies der Absolutbetrag, bzw. die Norm einer Gruppe ?
Wie ist diese definiert? Was sollte man dazu wissen?


Gruss




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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2245
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

das deutsche Wort für "representation" ist "Darstellung".


Was bedeutet Charakter einer Repräsentation?
Die Abbildung $\chi: G\to K,\quad g\mapsto\operatorname{tr}\rho(g)$ heißt Charakter der Darstellung ($V$ wird dabei als endlich dimensional vorausgesetzt).

Für eine endliche Gruppe $G$ ist $|G|\in \IN$ die Anzahl der Elemente von $G$.
\(\endgroup\)


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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 789
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-20


Noch eine Anmerkung: Man nennt oft Charaktere von Darstellungen (im Sinne von Nuramons Definition) mit $\dim{V} = 1$ lineare Charaktere.
Hieraus folgt, dass Charaktere und Darstellungen die selben Begriffe für $\dim{V} = 1$ sind - was mit eurer Definition linearer Charaktere einstimmt.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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sulky
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Dabei seit: 21.12.2009
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-21


super, vielen Dank Nuramon und Kezer,

Nun geht die Aufgabe folgendermassen weiter:

i) $\forall v \in V^G$, $p(v)=v$
Dies ergibt sich durch einfaches Einsetzen.

ii) $Im(p)=V^G= Kern(p-id_V)$
Aus i) sieht man sofort dass $V^G\subseteq Im(p)$ aber bei der umgekehrten Inklusion habe ich wieder mühe.

Sei $v\in V$ für alle $h\in G$ gilt:
$\rho(h)(p(v))= \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\rho(hg)(v)=\frac{1}{|G|}\sum_{g^{'}\in G}\rho(g^{'})(v)$

Die erste Gleichung habe ich nach langer Zeit verstanden. Aber bei der zweiten Gleichung komme ich nicht mit. Da wird die Summe umsortiert.
Mit $g^{'}\in G$ ist jedes Element der Gruppe abgedeckt. Aber mit $hg, g\in G$ da verstehe ich nicht, dass hier jedes Gruppenelement abgedeckt sein soll. In diesem Sinne verstehe ich die Gleichung nicht



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hippias
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Mitteilungen: 231
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-22


Eine berechtigte und wichtige Frage. Zu zeigen ist also <math>\{hg|g\in G\}= G</math>.
Sei <math>a\in G</math>. Wie muss <math>g</math> gewählt werden, damit <math>hg= a</math> ist? Ist die Lösung eindeutig?



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-22


hallo hippias,

vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Freut mich, dass meine Frage verständlich war.

Ja, jetzt sehe ich, dass $g=h^{-1}a$ eindeutig in $G$ sein muss.
Somit ist ${hg|g\in G}=G$

Ist interessant.


Ich habe nochmals eine Frage:


in iii) muss man beweisen dass $p^2=p$
Die Musterlösung verweist lediglich auf ii)

Wenn jetzt $v\in V$ in $Im(p)$ liegt, dann gilt $p-id_V=0$ und daher:
$p\circ P\circ v= p\circ v$

Was ist aber wenn $v$ nicht in $Im(p)$ liegt?



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-12


In ii) steht $\mathrm{im}(p) \subseteq \ker(p - \mathrm{id})$. Das ist äquivalent zu $(p - \mathrm{id})p = 0$. Und das ist wiederum äquivalent zu $p^2=p$.



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