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  Wie eine Vereinigungsmenge algebraisch bestimmen? |
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minusphalbe
Aktiv 
Dabei seit: 24.02.2020
Mitteilungen: 125
 |  Themenstart: 2020-06-20
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Hallo!
Ich möchte eine Vereinigungsmenge \(C\) zweier Mengen \(A\) und \(B\) bilden.
Der Hintergrund: Es geht um die Lösung trigonometrischer Gleichungen. \(a\) ist dabei der Wert mit dem sich eine Lösung \({ x }_{ a }\) \(\pi\)-periodisch wiederholt, \(b\) ist die \(\pi\)-periodische Wiederholung der zweiten Lösung \({ x }_{ b }\) am Einheitskreis. Nun möchte ich eine ‚Gesamt-Periode‘, die entsprechend beide ‚Einzel-Perioden‘ zusammenfaßt.
\(A=\left\{ { a }|{ a=4k+1,k\in \mathbb{ Z } } \right\}\)
\(B=\left\{ { b }|{ b=4k-1,k\in \mathbb{ Z } } \right\}\)
\(C=A\cup B=\left\{ { c }|{ c=k\cdot \left( b-a \right) +1=2k+1,k\in \mathbb{ Z } } \right\}\)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52655_tabelle_1.png
Weil ich nicht immer eine Tabelle anfertigen möchte, habe ich mir die Beziehung \(c=k\cdot \left( b-a \right) +1\) überlegt und an einem weiteren Beispiel überprüft.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52655_tabelle_2.png
Weil die Beziehung für \(c\) auch hier paßt, würde ich gerne wissen, ob das die richtige Vorgehensweise beim Zusammenfassen von Elementen zweier Mengen ist oder aber zu kompliziert gedacht ist oder ob ich etwas Triviales übersehe. Wenn das aber so in Ordnung ist, gibt es vielleicht für das Vorgehen ein Stichwort, unter dem ich etwas darüber lesen könnte?
Viele Grüße,
minusphalbe
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-20
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Was ist $a$ und was ist $b$? Überlege dir, dass in deinen Tabellen $b-a = 2$ bzw. $b-a = 1$ gilt.
Du musst keine Tabelle anfertigen, um Vereinigungen von Mengen zu verstehen. In deinem ersten Beispiel sind in $A$ diejenigen Zahlen, die Rest 1 bei Division durch $4$ lassen. In $B$ diejenigen mit Rest $3$. Die Vereinigung besteht also aus den ungeraden Zahlen.
Analog dein anderes Beispiel.
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8388
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-20
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Hallo minusphalbe,
ich verstehe nicht genau, was du da gemacht hast. Dass es funktioniert, ist vielleicht Zufall.
Versuch es mal mit
\(A=\{6k+1:k\in\IZ\}\), \(B=\{6k-1:k\in\IZ\}\)
oder
\(A=\{6k+1:k\in\IZ\}\), \(B=\{7k-1:k\in\IZ\}\)
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minusphalbe
Aktiv 
Dabei seit: 24.02.2020
Mitteilungen: 125
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-20
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Hallo StrgAltEntf!
Nein, das war kein Zufall, denn ich habe eine Formel gebaut, die genau auf meinen Fall paßte. Aber mit deinen Gegenbeispielen hast du mir gezeigt, daß mein Vorgehen nicht zielführend ist. Und ich vermute jetzt zu wissen, woran das liegt. Nämlich:
Hallo Kezer!
Du hast deine Antwort so formuliert, daß ich glaube, die Antwort auf meine Frage
\quoteon(2020-06-20 16:18 - minusphalbe im Themenstart)
... gibt es vielleicht für das Vorgehen ein Stichwort, unter dem ich etwas darüber lesen könnte?
\quoteoff
lautet: Modulo-Rechnen, oder? Und in meinem konkreten Fall \(\pi2k \cup \pi\left(2k+1\right)=k\pi\) bzw. \(\pi\left(4k-1\right)=\pi\left(4k+3\right)\) für \(k\in\mathbb{Z}\) ist das wahrscheinlich viel zu umständlich gedacht.
Vielen Dank euch beiden für eure Hilfe und Denkanstöße und
viele Grüße
minusphalbe
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-20
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\quoteon(2020-06-20 21:13 - minusphalbe in Beitrag No. 3)
Nein, das war kein Zufall, denn ich habe eine Formel gebaut, die genau auf meinen Fall paßte.
\quoteoff
Bist du dir sicher? Ich verstehe dein Argument zumindest auch nicht, aber vielleicht verstehen StrgAltEntf und ich das Wort "Zufall" anders als du.
\quoteon(2020-06-20 21:13 - minusphalbe in Beitrag No. 3)
lautet: Modulo-Rechnen, oder?
\quoteoff
Ja, in diesem speziellen Fall sollte es helfen.
\quoteon(2020-06-20 21:13 - minusphalbe in Beitrag No. 3)
Und in meinem konkreten Fall \(\pi2k \cup \pi\left(2k+1\right)=k\pi\) bzw. \(\pi\left(4k-1\right)=\pi\left(4k+3\right)\) für \(k\in\mathbb{Z}\) ist das wahrscheinlich viel zu umständlich gedacht.
\quoteoff
Hier musst du noch ein wenig aufpassen, keine deiner Gleichungen ergibt Sinn. Mir ist bewusst, was du damit ausdrücken willst, aber leider stimmt die Formalisierung nicht.
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minusphalbe
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2020
Mitteilungen: 125
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-20
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Hallo Kezer!
Ich sollte vielleicht so lange nicht mit mathematischen Vokabeln zu Euch sprechen, bis ich die mathematische Sprache beherrsche. Vielleicht lieber meine Frage umgangssprachlich formulieren. Bis ich meine Frage hier einwandfrei ausdrücken kann, wird wohl noch etwas Zeit vergehen. Kommt bestimmt noch :)
Danke dir!
Viele Grüße,
minusphalbe
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minusphalbe hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
minusphalbe hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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