Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Markow-Ketten für einfache stochastische Prozesse
Thema eröffnet 2020-06-23 05:21 von cramilu
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Seite 2   [1 2]   2 Seiten
Autor
Kein bestimmter Bereich Markow-Ketten für einfache stochastische Prozesse
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3325
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2020-07-09


Huhu zusammen,

ich habe mein Programm angepasst (und da ich ja eine Simulation dabei habe, bin ich auch (doppelt...) sicher, dass die Ergebnisse stimmen).

Wenn ihr also Unterstützung benötigt/haben wollt, biete ich euch gerne jede Lösung für Sequenzen der Länge $n$, $m$ Spieler und Münzen, die mit W'keit $p$ "Kopf" zeigen an.

Anm.: Tatsächlich ergibt es aber bei solchen Fragestellungen Sinn, das Problem einmal angemessen zu formalisieren, das erspart dann auch die "händische" Nachrechnerei...

lg, AK.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 284
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-09


@gonz: Interessant... nährt meine Vermutung ;)

@AnnaKath: Supi! Dann bitte einmal Vitello tonnato, als Hauptgericht Saltimbocca alla Romana und zum Dessert... Tiramisu ;)
Ach so - falsche Theke.

n = 3
m = 2

p1 = 0,6 (3/5)
p2 = 0,625 (5/8)
p3 = 0,618034 ((1+WURZEL(5))/2 - 1)

Danach überlege ich weiter, ob es sich beim Trickbetrüger um Leonardo Fibonacci handeln sollte ;)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1754
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2020-07-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Vorhersage: Die optimale Kopf-Wahrscheinlichkeit beim Spiel mit der manipulierten Münze, bei dem der Teufel wahlweise selber vorlegen darf, ist $p = \sqrt[n]{1/2}$ (oder eben $1-p$; und nicht $\varphi$ im Fall $n=3$). Der Vorlegende hat dann als beste Vorlage $\mathsf K^n$ (bzw. $\mathsf Z^n$, wenn man $1-p$ nimmt) und gewinnt damit mit WK 0,5. Vorausgesetzt, ich habe die Spielbeschreibung richtig verstanden und mich nicht verrechnet.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 284
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10


;) Es ist vollbracht ;)

Im folgenden zum Vergleich meine beiden Tabellen für Dreier- und Viererkombis:





hellblau hinterlegt:
Chancenverteilungen nach unmittelbaren Symmetrie-Überlegungen

rötlich hinterlegt:
für den Teufel besonders ungünstige Chancenverteilungen; 30 Prozent und weniger

grünlich hinterlegt:
für den Teufel besonders günstige Chancenverteilungen; 30 Prozent und mehr

gelb hinterlegt:
bestmögliche(r) "Konter" des Teufels, falls Chancen dabei kleiner als 70 Prozent

helle Schrift:
außergewöhnlichste Chancenverteilungen

Die zu Beginn diskutierte, vermutet "optimale Strategie", wonach der Teufel zunächst das zweite Münzbild der Vorgabe umkehrt und zum ersten Münzbild seines "Konters" macht, sowie dann das letzte Münzbild der Vorgabe streicht und seinen "Konter" mit der übrigen Bildfolge vervollständigt, scheitert also bereits bei den Viererkombis!
@AnnaKath: Hätte ich wie gesagt frühestens ab Fünferkombis gemutmaßt...

Eine Tabelle für Dreierkombis, bei denen noch die Satansoma mit einsteigt, würde ich auch noch gerne erstellen ;)

@AnnaKath @tactac:
Könnte es ggf. mehr als eine "optimale Kopf-Wahrscheinlichkeit" geben?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1754
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2020-07-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2020-07-10 22:54 - cramilu in Beitrag No. 43 schreibt:
@AnnaKath @tactac:
Könnte es ggf. mehr als eine "optimale Kopf-Wahrscheinlichkeit" geben?
Ich glaube nicht. Im Fall n=3 gibt es ziemlich sicher nur die beiden genannten, sonst würden ja andere auffallen, wenn man folgendes tut: ganz viele rationale $p$ durchprobieren (dafür ist hilfreich, dass die Iteration von $(a,b) \mapsto (b,a+b-2(a\bmod b))$ mit Startwert $(1,1)$ genau alle Paare positiver natürlicher teilerfremder Zahlenpaare ergibt) und jedes mal, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit des Anziehenden näher an 50% liegt als jemals zuvor, p und die Gewinn-WK ausgeben. Der Anfang der Ausgabe sieht so aus:
Daten
0.5 (exact: 1 % 2), 0.3333333333333333 (exact: 1 % 3), ZKZ
0.3333333333333333 (exact: 1 % 3), 0.4166666666666667 (exact: 5 % 12), KZZ
0.25 (exact: 1 % 4), 0.421875 (exact: 27 % 64), ZZZ
0.6 (exact: 3 % 5), 0.45714285714285713 (exact: 16 % 35), ZKK
0.2 (exact: 1 % 5), 0.512 (exact: 64 % 125), ZZZ
0.21052631578947367 (exact: 4 % 19), 0.49205423531126985 (exact: 3375 % 6859), ZZZ
0.20833333333333334 (exact: 5 % 24), 0.49616608796296297 (exact: 6859 % 13824), ZZZ
0.20689655172413793 (exact: 6 % 29), 0.49887244249456725 (exact: 12167 % 24389), ZZZ
0.20588235294117646 (exact: 7 % 34), 0.5007887237940158 (exact: 19683 % 39304), ZZZ
0.7936507936507936 (exact: 50 % 63), 0.4999060176686783 (exact: 125000 % 250047), KKK
0.79375 (exact: 127 % 160), 0.500093505859375 (exact: 2048383 % 4096000), KKK
0.7937219730941704 (exact: 177 % 223), 0.5000405335934216 (exact: 5545233 % 11089567), KKK
0.7937062937062938 (exact: 227 % 286), 0.5000109003911146 (exact: 11697083 % 23393656), KKK
0.7936962750716332 (exact: 277 % 349), 0.4999919663218803 (exact: 21253933 % 42508549), KKK
0.2062992125984252 (exact: 131 % 635), 0.5000004940482322 (exact: 128024064 % 256047875), ZZZ
0.20629965947786605 (exact: 727 % 3524), 0.4999996494989299 (exact: 21881515573 % 43763061824), ZZZ
0.20629959124789612 (exact: 858 % 4159), 0.49999977844544374 (exact: 35969679901 % 71939391679), ZZZ
0.20629954109303295 (exact: 989 % 4794), 0.49999987323217354 (exact: 55088885125 % 110177798184), ZZZ


\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1754
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, eingetragen 2020-07-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Ich habe jetzt auch mal Rechnen mit Quotienten von Polynomen mit Koeffizienten in $\IQ$ implementiert und damit rechnen lassen (sodass $p$ unbekannt bleiben kann). Löst man das Gleichungssystem damit, ergibt sich für $n=3,m=2$ zum Beispiel:
ghci
GHCi, version 8.6.5: http://www.haskell.org/ghc/  :? for help
[1 of 2] Compiling Poly             ( Poly.hs, interpreted )
[2 of 2] Compiling Main             ( Devil.hs, interpreted )
Ok, two modules loaded.
*Main> mapM_ print $ tests2 $ Setup 3 2 p
fromList [(KKK,(p)),(KKZ,(1 - p))]
fromList [(KKK,(p)/(1 + p - p^2)),(KZK,(1 - p^2)/(1 + p - p^2))]
fromList [(KKK,(p^2)/(1 - p + p^3)),(KZZ,(-1 + p + p^2 - p^3)/(-1 + p - p^3))]
fromList [(KKK,(p^3)),(ZKK,(1 - p^3))]
fromList [(KKK,(p^2 + p^3 - p^4)/(1 - p + p^2)),(ZKZ,(1 - p - p^3 + p^4)/(1 - p + p^2))]
fromList [(KKK,(-72 % 7 * p^3 + 36 % 7 * p^4)/(-36 % 7 + 36 % 7 * p - 36 % 7 * p^3)),(ZZK,(36 % 7 - 36 % 7 * p - 36 % 7 * p^3 + 36 % 7 * p^4)/(36 % 7 - 36 % 7 * p + 36 % 7 * p^3))]
fromList [(KKK,(48 % 7 * p^3 - 48 % 7 * p^4 + 16 % 7 * p^5)/(16 % 7 - 32 % 7 * p + 16 % 7 * p^2 + 32 % 7 * p^3 - 16 % 7 * p^4)),(ZZZ,(16 % 7 - 32 % 7 * p + 16 % 7 * p^2 - 16 % 7 * p^3 + 32 % 7 * p^4 - 16 % 7 * p^5)/(16 % 7 - 32 % 7 * p + 16 % 7 * p^2 + 32 % 7 * p^3 - 16 % 7 * p^4))]
fromList [(KKZ,(1)/(2 % 1 - p)),(KZK,(-1 + p)/(-2 % 1 + p))]
fromList [(KKZ,(p)/(1 - p + p^2)),(KZZ,(1 - 2 % 1 * p + p^2)/(1 - p + p^2))]
fromList [(KKZ,(p^2)),(ZKK,(1 - p^2))]
fromList [(KKZ,(p + p^2 - p^3)),(ZKZ,(1 - p - p^2 + p^3))]
fromList [(KKZ,(8 % 3 * p^2 - 4 % 3 * p^3)/(4 % 3 - 4 % 3 * p + 4 % 3 * p^2)),(ZZK,(4 % 3 - 4 % 3 * p - 4 % 3 * p^2 + 4 % 3 * p^3)/(4 % 3 - 4 % 3 * p + 4 % 3 * p^2))]
fromList [(KKZ,(108 % 7 * p^2 - 108 % 7 * p^3 + 36 % 7 * p^4)/(36 % 7 - 72 % 7 * p + 108 % 7 * p^2 - 36 % 7 * p^3)),(ZZZ,(-36 % 7 + 72 % 7 * p - 72 % 7 * p^3 + 36 % 7 * p^4)/(-36 % 7 + 72 % 7 * p - 108 % 7 * p^2 + 36 % 7 * p^3))]
fromList [(KZK,(p)),(KZZ,(1 - p))]
fromList [(KZK,(1 % 3 - 1 % 3 * p + 1 % 3 * p^2)/(2 % 3 - 1 % 3 * p)),(ZKK,(-1 % 3 + 1 % 3 * p^2)/(-2 % 3 + 1 % 3 * p))]
fromList [(KZK,(8 % 3 * p^2 - 4 % 3 * p^3)/(4 % 3 - 4 % 3 * p + 4 % 3 * p^2)),(ZKZ,(4 % 3 - 4 % 3 * p - 4 % 3 * p^2 + 4 % 3 * p^3)/(4 % 3 - 4 % 3 * p + 4 % 3 * p^2))]
fromList [(KZK,(2 % 1 * p^2 - p^3)),(ZZK,(1 - 2 % 1 * p^2 + p^3))]
fromList [(KZK,(3 % 1 * p^2 - 3 % 1 * p^3 + p^4)/(1 - p + p^2)),(ZZZ,(1 - p - 2 % 1 * p^2 + 3 % 1 * p^3 - p^4)/(1 - p + p^2))]
fromList [(KZZ,(1 - p)),(ZKK,(p))]
fromList [(KZZ,(-2 % 3 * p + 1 % 3 * p^2)/(-1 % 3 - 1 % 3 * p)),(ZKZ,(1 % 3 - 1 % 3 * p + 1 % 3 * p^2)/(1 % 3 + 1 % 3 * p))]
fromList [(KZZ,(2 % 1 * p - p^2)),(ZZK,(1 - 2 % 1 * p + p^2))]
fromList [(KZZ,(3 % 1 * p - 3 % 1 * p^2 + p^3)),(ZZZ,(1 - 3 % 1 * p + 3 % 1 * p^2 - p^3))]
fromList [(ZKK,(p)),(ZKZ,(1 - p))]
fromList [(ZKK,(p^2)/(1 - p + p^2)),(ZZK,(1 - p)/(1 - p + p^2))]
fromList [(ZKK,(-2 % 1 * p^2 + p^3)/(-1 + 2 % 1 * p - 3 % 1 * p^2 + p^3)),(ZZZ,(1 - 2 % 1 * p + p^2)/(1 - 2 % 1 * p + 3 % 1 * p^2 - p^3))]
fromList [(ZKZ,(-p)/(-1 - p)),(ZZK,(1)/(1 + p))]
fromList [(ZKZ,(2 % 1 * p - p^2)/(1 + p - p^2)),(ZZZ,(1 - p)/(1 + p - p^2))]
fromList [(ZZK,(p)),(ZZZ,(1 - p))]

(Könnte ja 'was nützen 😁)
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 284
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12


@tactac: Und wie das nützt! KLASSE ;)

Mal sehen, ob ich daraus eine zusätzliche Tabelle mache...



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3325
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, eingetragen 2020-07-12 21:08


Huhu zusammen,

hier einmal eine kurze Beschreibung, was formal für dieses Spiel zu berechnen ist.

Ist $M$ die (hoffensichtlich offensichtliche) Übergangmatrix des Teufelspiels mit $m$ Spielern und Sequenzen der Länge $n$. Ggf. durch Umnummerieren der Zustände erreicht man, dass die von den Spielern gewählten Strategien gerade den Zuständen $1, ..., m$ entsprechen. Die (ggf. zeilenpermutierte) Matrix hat dann offenbar die Blockgestalt
$$ M =\left ( \begin{array}{rr} I & 0 \\ R & Q \\ \end{array} \right ) $$
Die Matrix $Z = (I - Q)^{-1} R$ enthält dann (im Wesentlichen) die Lösung des Spiels. Der Eintrag $z_{ij}$ bezeichnet dann nämlich die Wahrscheinlichkeit, dass die Markovkette, sofern sie im (transienten) Zustand $i$ startet, im (absorbierenden) Zustand $j$ endet (also dass der Spieler mit der Strategie $j$ gewinnt).

lg, AK.

$I$ meint (jeweils) die entsprechend dimensionierte Einheitsmatix



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 284
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-14 04:51


@AnnaKath:

Danke für Ihren Hinweis auf grundlegendes formales Rüstzeug!

Die entsprechende Theorie wurde auch mir einst im Informatik-Studium zu Gemüte geführt - man beachte das Passiv ;)

Wir haben das Anfang der 1990-er Jahre angewandt, um drei- bis fünfdimensionale Zustandsräume datentechnischer Parameter daraufhin zu überprüfen, ob, wie und wann ggf. ein "kritischer" Zwischenzustand erreicht wird, oder ab wann "gefährliche" Zwischenzustände als "Attraktoren" zu wahrscheinlich werden (wie etwa bei zu starker Erhöhung der Betriebstemperatur etc.). Nach meiner Erinnerung ist eine Darmspülung mit Salpetersäure dem beinahe vorzuziehen ;)

Mir hat der "Rückbruch" auf einfache Münzwurfproblematiken gefallen, weil hier, wenn auch eindimensional, eine praktische Spielerei ansatzweise die Anwendungsmöglichkeiten aufzeigt.

Können Sie sich erinnern, mit welcher Gestalt von Übergangsdiagrammen etc. Sie das gelernt haben und z.B. einen Handskizzenscan/-handyfoto posten?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cramilu hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Seite 2Gehe zur Seite: 1 | 2  
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]