| |
| Autor |
  Ebene im R^4 |
|
Huhoha
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 15.06.2020
Mitteilungen: 33
 |  Themenstart: 2020-06-26
|
Hallo,
ich tue mich schwer mit der Berechnung der Schnittgerade aus zwei Ebenen im $\mathrm{R}^4$. Die Ebenen sind in Parameterdarstellung
$$
\vec{E}_1 = \vec{p} + \mu \vec{v}_1 + \lambda \vec{v}_2
$$
gegeben. Mein Ansatz wäre, eine Ebene in Koordinatenform zu bringen um die andere da einzusetzten (wie in der Schule). Da scheitere ich jedoch, da es ja verschiedene Vektoren im $\mathrm{R}^4$ gibt, die senkrecht auf beide Richtungsvektoren der Ebene sind. Kann mir jemand zeigen, wo mein denkfehler liegt?
Viele Grüße
|
 Profil
|
StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-26
|
Hallo Huhoha,
im \(\IR^4\) kannst du eine zweidimensionale Ebene nicht mit einer Koordinatengleichung schreiben. Aber erinnerst du dich, wie im \(\IR^3\) zwei Geraden geschnitten werden, die in Parameterform gegeben sind? So ähnlich geht das hier auch.
|
Profil
|
Huhoha
Wenig Aktiv
Dabei seit: 15.06.2020
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-26
|
Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
muss ich die Ebenen gleichsetzten, und einen Zusammenhang zwischen den Parametern aufstellen? So komme ich auf irgendwas, was zu stimmen scheint.
Ist es unmöglich, eine Ebene im $\mathrm{R}^4$ mit einer Gleichung darzustellen? Kann man mit einer Gleichung nur einen Raum der Dimension $n-1$ beschreiben?
|
Profil
|
StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-26
|
\quoteon(2020-06-26 15:44 - Huhoha in Beitrag No. 2)
1) muss ich die Ebenen gleichsetzten, und einen Zusammenhang zwischen den Parametern aufstellen? So komme ich auf irgendwas, was zu stimmen scheint.
2) Ist es unmöglich, eine Ebene im $\mathrm{R}^4$ mit einer Gleichung darzustellen? Kann man mit einer Gleichung nur einen Raum der Dimension $n-1$ beschreiben?
\quoteoff
1) wenn du dir die Mühe machen möchtest, kannst du es ja hier mal aufschreiben
2) so ist es
|
Profil
|
lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11545
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-26
|
Hallo
kleiner Hinweis im R^2 kannst du eine Gerade als Gleichung schreiben im R^3 nicht, das wusstest du schon.
lula
|
Profil
|
Huhoha
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 15.06.2020
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-26
|
\quoteon(2020-06-26 16:09 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3)
1) wenn du dir die Mühe machen möchtest, kannst du es ja hier mal aufschreiben
\quoteoff
Ich versuch es mall:
beide Ebenen gehen durch $\vec{0}$ und sind beschrieben mit
$$
\vec{E}_1:\alpha_1\begin{pmatrix}-1 \\ 1\\1\\1\end{pmatrix} +
\alpha_2\begin{pmatrix}2 \\ -1\\-1\\-1\end{pmatrix} $$ $$
\vec{E}_2:\beta_1\begin{pmatrix}1 \\ 0\\0\\0 \end{pmatrix} +
\beta_2\begin{pmatrix}0 \\ 0\\1\\0\end{pmatrix}
$$
Aus dem Gleichsetzten kommt $\alpha_1 = \alpha_2$, $\beta_2 = 0$ und $\alpha_1 = \beta_1$. Wenn ich z.B. $\alpha_1 = \alpha_2$ in die erste Ebene einsetze, komme ich auf die Gerade
$$ \vec{g}: \alpha_1\begin{pmatrix}1 \\ 0\\0\\0\end{pmatrix} $$.
Funktioniert das immer so?
Vielen Dank für die Hilfe :-)
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10902
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-26
|
Hallo zusammen,
ich habe jetzt nicht nachgerechnet, aber wie kommst du hier überhaupt auf die Idee einer Geraden als Schnittmenge?
Die zwei Ebenen gleichgesetzt ergeben ja offensichtlich ein 4x4-LGS.
Gut, das ist in diesem Fall homogen, im Falle einer eindeutigen Lösung wäre dann der Ursprung der Schnittpunkt (sic!) der beiden Ebenen.
Schreibe das LGS doch mal vernünftig hin, so dass man den Rang der Koeffizientenmatrix nachvollziehen kann.
Der bestimmt dann auch die Art der Schnittmenge.
Gruß, Diophant
|
Profil
|
Huhoha
Wenig Aktiv
Dabei seit: 15.06.2020
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-26
|
\quoteon(2020-06-26 22:29 - Diophant in Beitrag No. 6)
Schreibe das LGS doch mal vernünftig hin, so dass man den Rang der Koeffizientenmatrix nachvollziehen kann.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Hallo Diophant,
Das LGS wäre
$$ \begin{pmatrix}-1 & 2 &-1&0 \\ 1&-1&0&0\\1&-1&0&-1\\ 1&-1&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2\end{pmatrix} = \vec{0} $$
was ja offensichtlich Rang 3 hat.
\quoteon(2020-06-26 22:29 - Diophant in Beitrag No. 6)
ich habe jetzt nicht nachgerechnet, aber wie kommst du hier überhaupt auf die Idee einer Geraden als Schnittmenge?
\quoteoff
Ahhh, stimmt, danke, ich hatte es aus dem falschen Blickwinkel gesehen. War fixiert im $\mathrm{R}^3$... Stimmt, zwei Ebenen im $\mathrm{R}^4$ könnten nur einen Schnittpunkt haben... Nennt man das, was ich beschrieben habe im $\mathrm{R}^4$ eigentlich noch Ebene?
Kann ich nun schließen, dass die Schnittmenge eine Gerade (also Dimension 1 hat), weil das LGS Rang 3 hat und die Differenz zu $n$ 1 ist?
Vielen Dank für die Hilfe, das hat mich weitergebracht!
Edit: Ahhh, $dim(kern(A)) = 1$ (wenn A das LGS ist), also hat die Schnittmenge Dimension 1 --> Gerade. Ist die Argumentation richtig?
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10902
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-26
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,
beide Argumentationen stimmen.
Am Ende des Tages ist es doch einfach ein homogenes 4x4-LGS mit einem Defekt vom Rang 1.
Ergo lässt sich die Lösungsmenge mittels eines Parameters darstellen. Wie man das dann begründet, ist künstlerische Freiheit, würde ich sagen. 😉
Und wie du richtig festgestellt hast, werden zwei Ebenen im \(\IR^4\) i.a. einen Punkt als Schnittmenge haben
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
|
Profil
|
Huhoha hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Huhoha hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
2023-09-23 12:34 U P ?
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
