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Lineare Algebra » Eigenwerte » Multiplikation im charakteristischen Polynom
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Universität/Hochschule Multiplikation im charakteristischen Polynom
Bruce94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-27


Hallo, liebe Mathe-Freunde,

ich habe vor einiger Zeit begonnen mein Mathe-Wissen vom Studium wieder aufzufrischen (studiere nicht mehr) und gehe mein erstes Skript wieder durch. Dort wird der Satz von Cayley-Hamilon bewiesen. Im Anschluss steht die Bemerkung:

"Man beachte, dass folgender offensichtlicher Beweis für $\chi_A(A)=det(A * 1_n-A)=det(0)=0$ falsch ist, da "*" beim Einsetzen von A in $det(t1-A) \in K[t]$ eben nicht die Matrixmuliplikation ist."

Ich frage mich nun, welche es dann ist. Hierfür habe ich mir ein kleines Beispiel gebastelt, um den Umgang mit dem charateristischem Polynom nachvollziehen zu können. Sind meine Gedanken richtig oder mache ich einen Fehler?

Sei $f: \ \mathbb{R}^{2x2} \to \mathbb{R}^{2x2}: \
\left(\begin{array}{rr}
a & c \\
b & d  \\
\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{rr}
2a & b \\
c & -d  \\
\end{array}\right)
$

Es gilt: $M_B^B(f)=\left(\begin{array}{rrrr}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{array}\right)$, wobei $B=\{E_1, E_2, E_3, E_4\}$  mit $E_1=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 0  \\
\end{array}\right)$, $E_2=\left(\begin{array}{rr}
0 & 0 \\
1 & 0  \\
\end{array}\right)$, $E_3=\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
0 & 0  \\
\end{array}\right)$ und $E_4 = \left(\begin{array}{rr}
0 & 0 \\
0 & 1  \\
\end{array}\right)$.

So folgt: Es gilt: $\chi_f=\chi_{M^B_B}=t^4-3t^3+t^2-2 \in K[t]$

1.) $\chi_f(f)$ berechnen
Es gilt: $\chi_f=\chi_{M^B_B}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1  \\
\end{array}\right)t^4-\left(\begin{array}{rr}
3 & 0 \\
0 & 3  \\
\end{array}\right)t^3+\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1  \\
\end{array}\right)t^2-\left(\begin{array}{rr}
2 & 0 \\
0 & 2  \\
\end{array}\right) \in K[t]$

und somit

$\chi_f(f)=\chi_{M^B_B}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1  \\
\end{array}\right)f^4-\left(\begin{array}{rr}
3 & 0 \\
0 & 3  \\
\end{array}\right)f^3+\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1  \\
\end{array}\right)f^2-\left(\begin{array}{rr}
2 & 0 \\
0 & 2  \\
\end{array}\right) \cdot id_{End_{\mathbb{R}}}(Mat_2(\mathbb{R}))$

Es gilt:
$\chi_f(f(A))=0 \ \ \forall A \in Mat_2(\mathbb{R})$

und somit

$\chi_f(f)=0 \in End_{\mathbb{R}}(Mat_2(\mathbb{R}))$



2.) $\chi_{M_B^B(f)}(M_B^B(f))$ berechnen

$\chi_{M_B^B(f)}(t)= \left(\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)t^4-\left(\begin{array}{rrrr}
3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
\end{array}\right)t^3+\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)t^2-\left(\begin{array}{rrrr}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{array}\right)$

Setze ich nun die Matrixdarstellung für t ein erhalte ich:

$\chi_{M_B^B(f)}(M_B^B(f))= \left(\begin{array}{rrrr}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array} \right)\in Mat_4(\mathbb{R})$



Liebe Grüße
Bruce



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-27


Hallo

2020-06-27 11:41 - Bruce94 im Themenstart schreibt:
Hallo, liebe Mathe-Freunde,

ich habe vor einiger Zeit begonnen mein Mathe-Wissen vom Studium wieder aufzufrischen (studiere nicht mehr) und gehe mein erstes Skript wieder durch. Dort wird der Satz von Cayley-Hamilon bewiesen. Im Anschluss steht die Bemerkung:

"Man beachte, dass folgender offensichtlicher Beweis für $\chi_A(A)=det(A * 1_n-A)=det(0)=0$ falsch ist, da "*" beim Einsetzen von A in $det(t1-A) \in K[t]$ eben nicht die Matrixmuliplikation ist."
Es ist doch eigentlich die Multiplikation von Skalaren oder eben der Variablen $t$ mit Elementen aus dem Körper. Mit Matrixmultiplikation hat das charakteristische Polynom erst einmal nichts zutun. Außerdem passen die Nullen mit ihren Dimensionen doch gar nicht zusammen. Es ist $\chi_A(A)=0_V\neq 0_K$.

Im Satz von Caley-Hamilton dann aber schon. Dort wird $A^2$ schon mit der Matrixmultiplikation berechnet, wobei es wahrscheinlich schöner ist, die Komposition der linearen Abbildung mit sich selbst zu betrachten.


Sei $f: \ \mathbb{R}^{2x2} \to \mathbb{R}^{2x2}: \
\left(\begin{array}{rr}
a & c \\
b & d  \\
\end{array}\right)
\to
\left(\begin{array}{rr}
2a & b \\
c & -d  \\
\end{array}\right)
$

Es gilt: $M_B^B(f)=\left(\begin{array}{rrrr}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{array}\right)$, wobei $B=\{E_1, E_2, E_3, E_4\}$  mit $E_1=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 0  \\
\end{array}\right)$, $E_2=\left(\begin{array}{rr}
0 & 0 \\
1 & 0  \\
\end{array}\right)$, $E_3=\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
0 & 0  \\
\end{array}\right)$ und $E_4 = \left(\begin{array}{rr}
0 & 0 \\
0 & 1  \\
\end{array}\right)$.
Zunächst ist $f(E_2)=E_3$ und $f(E_3)=E_2$. Also ist die darstellende Matrix keine Diagonalmatrix oder irre ich mich?


So folgt: Es gilt: $\chi_f=\chi_{M^B_B}=t^4-3t^3+t^2-2 \in K[t]$

1.) $\chi_f(f)$ berechnen
Es gilt: $\chi_f=\chi_{M^B_B}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1  \\
\end{array}\right)t^4-\left(\begin{array}{rr}
3 & 0 \\
0 & 3  \\
\end{array}\right)t^3+\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1  \\
\end{array}\right)t^2-\left(\begin{array}{rr}
2 & 0 \\
0 & 2  \\
\end{array}\right) \in K[t]$
Hier stimmt etwas nicht. Das mit den $2\times 2$ ist nicht in $K[t]$. Weiter ist $\chi_{M^B_B}$ auch etwas mit $4\times 4$-Matrizen.

Es tut mir leid, wenn ich mich etwas unglücklich ausgedrückt habe. Trotzdem hoffe ich, dass es geholfen hat.



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Bruce94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-27


Hallo

2020-06-27 12:56 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Zunächst ist $f(E_2)=E_3$ und $f(E_3)=E_2$. Also ist die darstellende Matrix keine Diagonalmatrix oder irre ich mich?

Stimmt, du hast Recht.


Hier stimmt etwas nicht. Das mit den $2\times 2$ ist nicht in $K[t]$. Weiter ist $\chi_{M^B_B}$ auch etwas mit $4\times 4$-Matrizen.
$\chi_{M^B_B}$ ist dann vermutlich die Funktion, die ich bei 2.) angegeben habe (mal von dem dir gefundenen Fehler aufgrund der Matrixdarstellung abgesehen). Dann frage ich mich, was $f$ in $\chi_f(f)$ ist, da $f$ ja nach $\mathbb{R}^{2x2}$ abbildet.



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Bruce94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-09


Hallo,

da schon lange keine Antwort mehr kam und der Beitrag schon weit unten ist, wollte ich noch mal nachfragen, ob vielleicht jemand weiß, wo mein Fehler liegt.

Liebe Grüße
Bruce



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-10


Hallo,

Das charakteristische Polynom f ist ein Annulatorpolynom der linearen Abbildung A. Es ist ein Polynom über dem Matrizenring der linearen Abbildungen. Das Polynom angewendet auf A bildet jeden Vektor auf den Nullvektor ab, damit ist es das 0 Element im Polynomring.

Gruß von BigR2020



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