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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Bilder und Urbilder einer Durchschnittsmenge
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Universität/Hochschule J Bilder und Urbilder einer Durchschnittsmenge
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-29


Seien \(X,Y\) Mengen.
Sei \(f : X \to Y\) eine Abbildung.
Betrachte Teilmengen \(A,B \subseteq X\) und \(A',B' \subseteq Y\).

\(\textbf{Aufgabe:}\)
Zeige, dass \(f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)\) mit Gleichheit, wenn \(f\) injektiv ist, und
\(f^{-1}(A' \cap B') = f^{-1}(A') \cap f^{-1}(B').\)

Bei der Formel für das Urbild des Schnitts gehe ich aufgrund vom Gleichheitszeichen davon aus, beidseitige Inklusion zeigen zu müssen (werde ich morgen auch versuchen und euch meinen Ansatz präsentieren). Doch wie gehe ich rigoros an die erste Aufgabe ran? (Venn-Diagramme und Abbildungsskizzen zu zeichnen sind ja noch keine Beweise...🙃)

Danke im Voraus für eure Tipps.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-29


Hallo Phoensie,

2020-06-29 23:11 - Phoensie im Themenstart schreibt:
Doch wie gehe ich rigoros an die erste Aufgabe ran? (Venn-Diagramme und Abbildungsskizzen zu zeichnen sind ja noch keine Beweise...🙃)

Du hast recht, Bildchen sind noch kein Beweise.

Schreib als erstes auf, was eigentlich zu beweisen ist.



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-30


Zeige, dass \(f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)\) mit Gleichheit, wenn \(f\) injektiv ist.

Tip: Beginne mit

\(A \cap B \subseteq A \), also

\(f(A \cap B) \subseteq f(A) \), ...

Die Aufgabe wurde übrigens schon tausendmal gestellt und auch auf dem MP besprochen.




-----------------
Knappe Antworten sind gewollt und sollen nicht unhöflich sein. Wenn du nachfragst, kurz deinen Kenntnisstand schildern!



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-02


Hallo Helmetzer,
Im Folgenden schicke ich, was ich bislang habe. Die Gleichheit im Injektivitätsfall bereitet mir noch Kopfzerbrechen, da ich nicht weiss, wie ich mein zu betrachtendes Element definieren soll (innerhalb des Bilds? innerhalb des Urbilds?)

\(\textbf{Satz 1. Bild einer Schnittmenge.}\).
Sei \(f:X \to Y\) eine Abbildung. Für \(A,B \subseteq X\) gilt
\[\begin{align*}
    f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B),
\end{align*}
\] mit Gleichheit, wenn \(f\) injektiv ist.

\(\textbf{Beweis \(\subseteq\), Satz 1.}\)
\[
    \begin{align*}
        \begin{cases}
        A \cap B \subseteq A &\implies f(A \cap B) \subseteq f(A) \\
        A \cap B \subseteq B &\implies f(A \cap B) \subseteq f(B)
        \end{cases}
        \implies f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B).
    \end{align*}
\]
\(\textbf{Beweis Gleichheitsfall, Satz 1.}\)
Sei \(f\) injektiv. \(\color{red}{\text{Hier fehlt mir der Rest...}}\)

\(\textbf{Satz 2. Urbild einer Schnittmenge.}\)
Sei \(f:X \to Y\) eine Abbildung. Für \(A',B' \subseteq Y\) gilt
\[
\begin{align*}
        f^{-1}[A' \cap B'] = f^{-1}[A'] \cap f^{-1}[B'].
\end{align*}
\]

\(\textbf{Beweis \(\subseteq\), Satz 2.}\)
Sei $y\in A'\cap B'$ mit Urbild $x:=f^{-1}(y) \in f^{-1}[A'\cap B']$. Dann gelten $y\in A'$ und $y\in B'$ ebenfalls, womit das Urbild in $f^{-1}[A']$ und in $f^{-1}[B']$ liegen muss, also $x \in f^{-1}[A']\cap f^{-1}[B']$.

\(\textbf{Beweis \(\supseteq\), Satz 2.}\)
Sei $x \in f^{-1}[A']\cap f^{-1}[B']$ mit Bild $f(x):=y$. Wegen $x\in f^{-1}[A']$ gilt $f(x) \in A'$. Wegen $x \in f^{-1}[B']$ gilt $f(x) \in B'$. Weil das Bild $y=f(x)$ also in $A'$ und in $B'$ liegt, gilt $y\in A' \cap B'$. Damit ist aber auch $x \in f^{-1}[A'\cap B']$.



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-02


Sei \(y \in  f(A) \cap f(B)\)
\(y = f(a) = f(b)\) mit \(a \in A, b \in B\)

Nun benutze die Injektivität.



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-08


Hier mein Beweis für die Gleichheit, wenn $f$ injektiv ist.

Sei \(y \in f[A] \cap f[B]\). Es gilt:
\[\begin{align*}
    \begin{cases}
        y \in f[A] & \implies \exists a \in A: f(a)=y \\
        y \in f[B] & \implies \exists b \in B: f(b)=y
    \end{cases}
\implies f(a)=f(b).
\end{align*}
\] Ist $f$ injektiv, dann gilt
\[f(a)=f(b) \implies a=b \implies a \in B.\] Man erhält
\[
\forall y \in f[A] \cap f[B] \;\exists a \in A \cap B: f(a) = y
\] und demnach
\[y \in f[A \cap B]\] sowie
\[
 f[A] \cap f[B] \subseteq f[A \cap B],
\] was mit dem bereits Gezeigten die Gleichheit beweist.

Ist das korrekt so?😁



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-09


Sieht gut aus.



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