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Universität/Hochschule J Gruppen und Normalteiler
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-02


Hallo zusammen!

Ich verstehe einige Sachen beim Beweis des folgenden Theorems nicht:
Theorem: Sei $G$ eine Gruppe mit Normalteiler $N$. Dann ist
$G/N:= \{gN: g \in G\}$
mit vertreterweise definierter Verknüpfung eine Gruppe.

Beweis (i) Setze $aN \cdot bN := (a \cdot b)N$. Dies ist wohldefiniert. Denn seien $a' = an$ und $b' = bm$ mit $n,m \in N$, so folgt $a'N b'N = anbmN = anbN = anNb = aNb = abN$.
Hierbei wurde $nN = N$ verwendet.

(ii) .....


Frage 1) Wie wird hier die Wohldefiniertheit geprüft? Bzw. was ist für die Wohldefiniertheit zu zeigen?
Ich kannte das bisher so, dass man sich jeweils einen Vertreter aus einer Äquivalenzklasse rauspickt, also $a' \in aN$ und $b' \in bN$ zum Beispiel. Dies bedeutet ja dann $a' = an$ und $b' = bm$ für gewisse $n,m \in N$.
Aber wieso wird hier dann noch mit N dranmultipliziert?


Ich wäre euch für eure Hilfe wie immer sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-02


2020-07-02 01:30 - X3nion im Themenstart schreibt:
Ich kannte das bisher so, dass man sich jeweils einen Vertreter aus einer Äquivalenzklasse rauspickt, also $a' \in aN$ und $b' \in bN$ zum Beispiel.

Wenn wir die Klassenbildung mit eckigen Klammern $[\cdots]$ bezeichnen, wäre also $[a'\cdot b']=[a\cdot b]$ für $[a']=[a]$ und $[b']=[b]$ zu zeigen.

Und genau das wird auch gemacht, denn ...

2020-07-02 01:30 - X3nion im Themenstart schreibt:
Aber wieso wird hier dann noch mit N dranmultipliziert?

... hier ist ja $[x]=xN$ und gezeigt wird $(a'\cdot b')N=(a\cdot b)N$ für $a'N=aN$ und $b'N=bN$.

--zippy



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-02


Hallo zippy und vielen Dank für deine Antwort!

Hmm okay, dann seien also in diesem Fall $a'N = aN$ und $b'N = bN$.
Was ich nun nicht verstehe: wieso kann man aus $a'N = aN$ folgern, dass $a' = an$ für ein $n \in N$ und analog $b' = bm$ für ein $m \in N$ ist?
Also was ich glaube zu verstehen ist, dass im Falle der Gleichheit $a'N = aN$ insgesamt $a' \in a'N$ und $a' \in aN$ gilt. Aus Zweiterem folgt $a' = an$ für ein $n \in N$. Aus ersterem folgt $a' = a'k$. Aber was folgt hieraus? Und wieso wird nur das Zweitere, also $a' = an$, für die weitere Rechnung benutzt?

Viele Grüße,
X3nion



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-02


2020-07-02 13:02 - X3nion in Beitrag No. 2 schreibt:
Aus ersterem folgt $a' = a'k$. Aber was folgt hieraus?

Nichts, denn dieses $k$ ist doch einfach das Einselement.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-02


Ach bin ich blöd ... 😄

Jetzt habe ich aber noch eine Frage. Und zwar hatten wir eine Aufgabe, in welcher $K$ ein Körper war, $p \in K[X]$ ein Polynom, und auf $K[X]$ eine Äquivalenzrelation ~ durch
$r$ ~ $s \iff \exists m \in K[X]: r - s = m \cdot p$.
Auf $K[X] / $~ wurde eine Addition durch
$[r] + [s] = [r + s]$
und eine Multiplikation durch
$[r] \cdot [s] = [r \cdot s]$ definiert.

Diese vertreterweise definierten Additionen und Multiplikationen sollten auf Wohldefiniertheit überprüft werden.

Dann ist man hergegangen und hat $r$ ~ $r'$ und $s$ ~ $s'$ betrachtet, und dies auf die Äquivalenzrelation oben zurückgeführt. Es existieren also Polynome $m,n$, sodass $r - r' = mp$ und $s - s' = np$. Damit ist
$(r + s) - (r' + s') = ... = (m+n)p$, mithin $(r + s)$ ~ $(r' + s')$ oder eben $[r+s] = [r' + s']$.

Wo ist in diesem Falle die Äquivalenzrelation? Wir betrachten ja lediglich $[a] = [a']$ und $[b]= [b']$, aber damit gilt ja $a'$ ~ $a$ für irgendeine Äquivalenzrelation ~
?

VG X3nion



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-02


2020-07-02 14:24 - X3nion in Beitrag No. 4 schreibt:
Wo ist in diesem Falle die Äquivalenzrelation?

Du kannst ganz allgemein zwischen Klassenabbildung $[\cdots]$ und Äquivalenzrelation $\sim$ hin- und her übersetzen:

* Wenn die Klassenabbildung gegeben ist, erhältst du die Äquivalenzrelation als $x\sim y\;:\!\!\iff[x]=[y]$

* Wenn die Äquivalenzrelation gegeben ist, erhältst du die Klassenabbildung als $[x]:=\{y:y\sim x\}$.





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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-02


Ahh okay, nun macht das Sinn!

Dann noch eine Frage. Es steht weiter im Beweis, dass $G / N$ eine Gruppe ist, folgendes: $(aN)^{-1}:= a^{-1}N$.
Müsste dies auch auf Wohldefiniertheit überprüft werden?
Und warum wird bei vertreterweise definierten Operatoren überhaupt auf Wohldefiniertheit überprüft?

VG X3nion



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-02


2020-07-02 15:11 - X3nion in Beitrag No. 6 schreibt:
Müsste dies auch auf Wohldefiniertheit überprüft werden?

Ja.

2020-07-02 15:11 - X3nion in Beitrag No. 6 schreibt:
Und warum wird bei vertreterweise definierten Operatoren überhaupt auf Wohldefiniertheit überprüft?

Weil nicht automatisch sichergestellt ist, dass es die Funktionen und Verknüpfungen, die man sich mit einer vertreterweise hingeschriebenen Definition "wünscht", auch wirklich gibt.

Ein Beispiel, wo so etwas schief geht, ist die folgende Verknüpfung zwischen Brüchen:$${a\over b}\oplus{c\over d}:={a+c\over b+d}$$



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-02


Guten Abend zippy,

das mit den Brüchen ergibt natürlich Sinn, Dankeschön!

Hmm zu obigem. Zu zeigen ist also die Wohldefiniertheit der Definition
$(aN)^{-1} := a^{-1}N$. Im Skript wurde der Beweis unterschlagen.

Sei $[a] = [b]$, also $aN = bN$.
Zeigen wollen wir $[a^{-1}] = [b^{-1}]$, also $a^{-1}N = b^{-1}N$

Sei $a \in [a]$, also auch $a \in [b]$. Dann ist $a = bn$ für ein $n \in N$.
Hieraus folgt $a^{-1} = b^{-1}n^{-1} = b^{-1}m$ für ein $m \in N$.
Damit gilt aber $[a^{-1}] = [b^{-1}]$.

Wäre das so okay?

Viele Grüße,
X3nion



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-07-02


2020-07-02 21:21 - X3nion in Beitrag No. 8 schreibt:
Wäre das so okay?

Nein, aus $a = b\,n$ folgt nicht $a^{-1} = b^{-1}n^{-1}$, sondern $a^{-1} = n^{-1}b^{-1}$.

Und erst die Tatsache, dass das $n^{-1}$ jetzt auf der "falschen" Seite steht, macht es erforderlich, in dem Beweis auszunutzen, dass $N$ ein Normalteiler ist. Du hast ja bisher nur verwendet, dass $N$ eine Untergruppe ist.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03


Hi zippy,

hmm ich kannte das von Abbildungen, dass wenn $f: A \to B$, $g: B \to C$, dass dann vertauscht $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} g^{-1}$ gilt.
Wieso ist das hier auch bei Gruppenelementen so, dass aus $a = bn$ die Gleichheit $a^{-1} = n^{-1}b^{-1}$ folgt, also quasi $(bn)^{-1} = n^{-1}b^{-1}$ ?

Insgesamt ergibt sich durch die Normalteilereigenschaft $bN = Nb$, dass $a^{-1} = n^{-1}b^{-1} = b^{-1}n^{-1}$, also $[a^{-1}] = [b^{-1}]$ ?

Viele Grüße,
X3nion



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-07-03


2020-07-03 14:43 - X3nion in Beitrag No. 10 schreibt:
Wieso ist das hier auch bei Gruppenelementen so, dass aus $a = bn$ die Gleichheit $a^{-1} = n^{-1}b^{-1}$ folgt, also quasi $(bn)^{-1} = n^{-1}b^{-1}$ ?

Weil man für zwei Gruppenelemente $x$ und $y$ einfach nachrechnen kann, dass $x\,y\,y^{-1}x^{-1}=1$ und damit $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ gilt.

2020-07-03 14:43 - X3nion in Beitrag No. 10 schreibt:
Insgesamt ergibt sich durch die Normalteilereigenschaft $bN = Nb$, dass $a^{-1} = n^{-1}b^{-1} = b^{-1}n^{-1}$, also $[a^{-1}] = [b^{-1}]$ ?

Nein, $bN=Nb$ bedeutet nicht, dass $b\,n=n\,b$ für $n\in N$ ist.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03



Weil man für zwei Gruppenelemente $x$ und $y$ einfach nachrechnen kann, dass $x\,y\,y^{-1}x^{-1}=1$ und damit $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ gilt.

Ja das ergibt Sinn!


Nein, $bN=Nb$ bedeutet nicht, dass $b\,n=n\,b$ für $n\in N$ ist.

Welche Eigenschaft des Normalteilers wird hier dann benötigt?

Viele Grüße,
X3nion



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-07-03


2020-07-03 21:09 - X3nion in Beitrag No. 12 schreibt:
Welche Eigenschaft des Normalteilers wird hier dann benötigt?

Es wird schon $bN=Nb$ benötigt.

Nur deutet das nicht, dass $b\,n=n\,b$ für alle $n\in N$ gilt, sondern dass die Mengen $bN$ und $Nb$ gleich sind. Und daraus folgt, dass es zu jedem $n\in N$ ein $m\in N$ mit $b\,n=m\,b$ gibt.



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X3nion
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Ahh ja klar, das ergibt Sinn. Dankeschön!

Dann noch eine Frage:
Der Beweis ganz am Anfang packt sich auch a'N = aN und folgert aus $a' \in aN$, dass $a' = an$ für ein $a \in N$. $a' \in a'N$ liefert ja wegen $a' = a'k$ für ein $k \in N$ keine zusätzliche Bedingung.

Ich habe ja den Beweis auch so angefangen, dass aN = [a] = [b] = bN gilt, also $a \in [a]$ und $a \in [b] \iff a = bn$ für ein $n \in N$. Damit rechnet man dann weiter und kommt zum Schluss auf $a^{-1} = n^{-1}b^{-1} =  b^{-1}m$ für ein $m \in N$, mithin $[a^{-1}] = [b^{-1}]$.

Wenn wir nun aber $x \in [a]$ wählen, dann haben wir $x = an$ und $x = bm$ für gewisse $n,m \in N$.
Wie rechnet man nun damit weiter? Dann hat man das Ganze im Gegensatz zu oben ja doppelt, weil oben fällt ja eine Bedingung hin.

VG X3nion



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-07-04


Leider verstehe ich nicht wirklich, was du fragen willst... Ich fasse daher den Beweis nochmal in eigenen Worten zusammen:

1. Man will zeigen $[a]=[b]\implies[a^{-1}]=[b^{-1}]$.

2. Man startet den Beweis, indem man $[a]=[b]$ durch $b\in[a]$ ersetzt.

Diese Ersetzung (die übrigens ganz allgemein für jede Äquivalenzrelation gilt) bringt eine gewisse Asymmetrie ins Spiel: In Schritt 1 waren $a$ und $b$ noch gleichberechtigt, jetzt "drückt man $b$ durch $a$ aus".

3. Man übersetzt $b\in[a]$ für die tatsächlich betrachtete Äquivalenzrelation. Hier also: $b\in[a]$ bedeutet konkret $b\in aN$ und das wiederum bedeutet, dass es ein $n\in N$ mit $b=an$ gibt.

4. Man rechnet los: $b^{-1}=(an)^{-1}=n^{-1}a^{-1}$.

5. Man nutzt aus:
    (a) $N$ ist eine Untergruppe, d.h. es ist $n^{-1}\in N$.
    (b) $N$ ist ein Normalteiler, d.h. es gibt ein $m\in N$ mit $n^{-1}a^{-1}=a^{-1}m$.

6. Man schließt die Rechnung ab: $b^{-1}=\color{grey}{(an)^{-1}=n^{-1}a^{-1}}=a^{-1}m\implies b^{-1}N=a^{-1}mN=a^{-1}N$.

Für $mN=N$ wird wieder die Untergruppeneigenschaft von $N$ verwendet.

7. Und da ja $b^{-1}N=a^{-1}N$ nichts anderes als $[b^{-1}]=[a^{-1}]$ bedeutet, ist man fertig.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Hi zippy und vielen Dank für deine ausführliche Erklärung!



Leider verstehe ich nicht wirklich, was du fragen willst... Ich fasse daher den Beweis nochmal in eigenen Worten zusammen:

1. Man will zeigen $[a]=[b]\implies[a^{-1}]=[b^{-1}]$.

2. Man startet den Beweis, indem man $[a]=[b]$ durch $b\in[a]$ ersetzt.

Diese Ersetzung (die übrigens ganz allgemein für jede Äquivalenzrelation gilt) bringt eine gewisse Asymmetrie ins Spiel: In Schritt 1 waren $a$ und $b$ noch gleichberechtigt, jetzt "drückt man $b$ durch $a$ aus".


Genau hier meinte ich ja eben, dass [b] ja auch aus einem anderen Element bestehen könnte und man dann ein Element x \in $[b]$ mit $x \neq b$ in $[a]$ einsetzt, also einen anderen Vertreter benutzt.
Kann man dies überhaupt machen? Oder gibt es auch einelementige Nebenklassen?
Dann hätte man $x = an$ für ein $n \in N$.
Es folgt mit allen Bedingungen: $x^{-1} = a^{-1}m$ für ein $m \in N$.
Insgesamt also $x^{-1}N = a^{-1}mN = a^{-1}N$.

Nun folgert man, dass $[b^{-1}] = [x^{-1}] = [a^{-1}]$, da x ~ b gilt?

Viele Grüße,
X3nion



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-07-07


2020-07-06 22:11 - X3nion in Beitrag No. 16 schreibt:
Oder gibt es auch einelementige Nebenklassen?

Die gibt es auch, nämlich dann, wenn $N$ die Untergruppe ist, die nur aus der Eins besteht. Das ändert aber nichts, es würde lediglich aus $[a]=[b]$ bzw. aus $b\in[a]$ direkt $a=b$ folgen.

Ich verstehe leider nicht, was du mit dem $x$ willst. Du sagst:
1. $x\in[b]$
2. $x\ne b$

Die 2. Forderung ist nicht erforderlich und wegen der Existenz einelementiger Nebenklassen (siehe oben) auch nicht sinnvoll.

Die 1. Forderung sagt aber nichts anderes als dass $x$ genau dieselbe Rolle wie $a$ spielt. Also solltest du entweder $x$ oder $a$ verwenden. Es gibt keinen Grund, mit beiden gleichzeitig zu arbeiten.



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X3nion
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Guten Abend zippy,

vielen Dank dir für deine Hilfe, mir ist es nun klar geworden!

VG & ein angenehmes Wochenende,
X3nion



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