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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Kern und Bild einer Matrix / Transponierten
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Universität/Hochschule J Kern und Bild einer Matrix / Transponierten
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-03


Hallo zusammen!

Folgende Aufgabe beschäftigt mich:
Seien $n,k \in \mathbb{N}$ mit $n \neq 0$ und sei $A \in \mathbb{R}^{(n+k) \times n}$. Die folgenden Aussagen  sind zu zeigen:

(i) Für alle $x \in \mathbb{R}^{n}$ gilt $x^{T}x = 0 \iff x = 0$
(ii) $ker(A^{T}A) = ker(A)$
(iii) $\mathbb{R}^{n} = ker(A) \oplus im(A^{T})$


(i) und (ii) habe ich schon, zu (iii) :

Sei $x \in ker(A) \oplus im(A^{T})$, also $x = y + z$ mit $y \in ker(A)$ und $im(A^{T})$. Es gilt per Definition von A, dass $ker(A) \in \mathbb{R}^{n}$ und $im(A^{T}) \subset \mathbb{R}^{n}$ und mit der Abgeschlossenheit des $\mathbb{R}^{n}$ folgt $x = y + z \in \mathbb{R}^{n}$. Passt das so?

Zur Rückrichtung habe ich keine Ahnung, wie man das macht. Sei $x \in \mathbb{R}^{n}$ ...

Ich wäre euch wie immer für jede Hilfe sehr dankbar!

Viele Grüße und einen schönen Start in's Wochenende wünscht,
X3nion



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-04


Hey X3nion,

Es gibt doch keinen Grund, warum die Anzahl der Zeilen von \(A\) größer sein soll als die Anzahl der Spalten. Eher ist gerade dies sehr hinderlich bei der Lösung von Aufgabe (iii), weil man dort (ii) anwenden möchte und dies so nicht möglich wäre.

Die Richtung "\(\supset\)" bei (iii) ist doch trivial, da offenbar sowohl \(ker(A)\) als auch \(im(A^T)\) Teilmengen des \(\mathbb{R}^n\) sind.

Bei der Rückrichtung solltest du versuchen \(ker(A)^{\perp} = im(A^T)\) zu zeigen. Daraus kannst du das Gewünschte folgern



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04


Hey Kampfpudel und vielen Dank für deine Antwort!

Hmm so war die Aufgabe gestellt. Man möchte es den Studenten halt unnötig kompliziert machen 😄
Was bedeutet $(ker A)^{\perp}$ ?

VG X3nion



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-04


2020-07-04 19:12 - X3nion in Beitrag No. 2 schreibt:

Hmm so war die Aufgabe gestellt. Man möchte es den Studenten halt unnötig kompliziert machen 😄

VG X3nion

Ja, anscheinend 😄

2020-07-04 19:12 - X3nion in Beitrag No. 2 schreibt:

Was bedeutet $(ker A)^{\perp}$ ?


Damit ist das orthogonale Komplement von \(ker(A)\) gemeint, d.h.
\(ker(A)^{\perp} := \{x \in \mathbb{R}^n: x^T y =0 ~\forall y \in ker(A) \}\).

Allerdings hattest du anscheinend noch keine Orthogonalräume, was den ganzen Weg nun wohl ein wenig zu kompliziert machen würde.

Es gibt aber einen - denke ich - noch einfacheren Weg.
Du müsstest zuerst zeigen, dass \(ker(A) \cap im(A^T) = \{0\}\) gilt. Versuche dann mit Hilfe von Dimensionsformeln zu beweisen, dass \(dim(ker(A) + im(A^T))=n\) gilt.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Hi Kampfpudel und Danke für deine Antwort!

Hmm also der Beweis zu $ker(A) \cap im(A^{T})$ ist einfach.

$ker(A)$ und $im(A^{T})$ sind Untervektorräume des $\mathbb{R}^{n}$.
Die Dimensionsformel für Untervektorräume sieht ja vor:

$dim(ker(A) + im(A^{T}) = dim(ker(A)) + dim(im(A^{T})) - dim(ker(A) \cap im(A^{T}))$.

Da in unserem Fall der Schnitt nur die Null enthält, vereinfacht sich dies zu: $dim(ker(A) + im(A^{T}) = dim(ker(A)) + dim(im(A^{T}))$

Sei $v_{1}, ..., v_{l}$, $l \le  n$, eine Basis von $im(A^{T})$, wobei $im(A^{T})$ der von den Zeilen von A erzeugte Vektorraum ist.
Da der Zeilenrang mit dem Spaltenrang übereinstimmt, ist die Dimension der Zeilen von A höchstens n.

Ist $l = n$, so ist $im(A^{T}) = \mathbb{R}^{n}$, und weil Zeilenrang und Spaltenrang übereinstimmen, haben also die Spalten von A auch die Dimension n, damit ist das von A erzeugte Bild auch 2-dimensional und folglich gilt nach der Dimensionsformel für lineare Abbildungen $dim ker(A) = 0$, womit die Summe direkt wäre.

Ist $l < n$, so ergänze $v_{1}, ..., v_{l}$ zu einer Basis $v_{1}, ..., v_{l}, v_{l+1}, ..., v_{n}$ von $\mathbb{R}^{n}$.


Wäre der Ansatz bis hierhin richtig?
Nun muss ich ja zeigen, dass die $v_{l+1}, ..., v_{n}$ eine Basis von $ker(A)$ sind. Wie mache ich das?

Viele Grüße,
X3nion



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-06


Hmm, für eine irgendwie ergänzte Basis müssen die \(v_{l+1},... v_n\) nicht unbedingt in \(ker(A)\) sein. Selbst wenn man etwa (zufälligerweise) den Vektor \(v_n\) so gewählt hätte, dass \(v_n \in ker(A)\) gilt, hätte man genauso gut stattdessen den Vektor \(w_n:= v_n + v_1\) als letzten Basisvektor wählen können und es wäre dann \(w_n \notin ker(A)\).

Ich habe da an etwas noch einfacheres gedacht.

Wenn \(f:V \to W\) eine lineare Abbildung zwischen zwei endlich dimensionalen Vektorräumen \(V,W\) ist, dann ist \(dim(V) = dim(ker(f)) + dim (im(f))\).

Wenn du herausfinden willst, welche lineare Abbildung \(f\) hier am geeignetsten ist, denk mal an (ii).



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Hmm ja das stimmt auch wieder.

Evtl. die Abbildung $A^{T} A$?
Da haben wir eine Abbildung $\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$

Viele Grüße,
X3nion



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-06


Ja, was bekommst du dann raus?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Gut, dann hätten wir $\mathbb{R}^{n} = dim(ker(A^{T}A)) + dim(im(A))$
Hierbei haben wir aber nicht $im(A^{T})$ in der Formel stehen.
Wie könnte man das erzielen? Und welche Erkenntnis gewinnt man aus dem $ker(A^{T}A)$?

Viele Grüße,
X3nion



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-07-06


Du hast ja auch nicht \(dim(im(A))\) da stehen, sondern \(dim(im(A^T A))\)

Wie ist denn die Beziehung zwischen \(im(A^T A)\) und \(im(A^T)\)?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Ich stehe gerade echt auf dem Schlauch. Habe mir als Beispiel eine beliebige $3x2$ Matrix A hingeschrieben und $A^{T}A$ berechnet, komme aber auf keinen grünen Zweig.

VG X3nion



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-07-07


Na es gilt doch \(n = \dim(\mathbb{R}^n)= \dim(ker(A^T A)) + \dim(im(A^T A))\) und wegen (ii) ist \(ker(A^T A)) = ker(A)\), also
\(n = \dim(ker(A)) + \dim(im(A^T A))\).

Jetzt wollen wir aber etwas über \(\dim(ker(A)) + \dim(im(A^T))\) aussagen, deswegen die Frage nach der Beziehung zwischen \(im(A^T A)\) und \(im(A^T)\).


Ich denke, ich lasse dich an der Stelle erstmal noch etwas grübeln :)
Ein konkretes Beispiel her zu nehmen, hilft hier wohl eher nicht, denke ich



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-07


Hmm der Rang von $A^{T}$ und A ist derselbe, und daraus folgt aus dem Rangsatz: $rk(A^{T}A) \le min \{rk(A^{T}), rk(A)\} = rk(A) = rk(A^{T})$.
Gilt dann $im(A^{T}A) \subset im(A^{T})$ bzw. insgesamt
$n = dim (\ker(A^{T}A)) + dim (im(A^{T}A)) \le dim (\ker(A^{T}A)) + dim (im(A^{T}))$ ?

VG X3nion



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-07-07


Ja, auf \(im(A^T A) \subset im (A^T)\) wollte ich hinaus.

2020-07-07 00:23 - X3nion in Beitrag No. 12 schreibt:

$n = dim (\ker(A^{T}A)) + dim (im(A^{T}A)) \le dim (\ker(A^{T}A)) + dim (im(A^{T}))$ ?

Genau, fügen wir das ganze nun mit Beitrag No.4 zusammen, haben wir alles was wir brauchen



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-07


Es ist $n = dim(\ker A) + dim(im(A^{T}A)) \le dim(\ker A) + dim(im(A^{T})) = dim(\ker A + im(A^{T}))$.

Damit gilt $dim(\ker A + im(A^{T})) \ge n$, aber $\ker A \in \mathbb{R}^{n}$ und $im(A^{T}) \in \mathbb{R}^{n}$, also $dim (\ker A + im(A^{T})) \le n$, insgesamt also $dim (\ker A + im(A^{T})) = n$.
 
VG X3nion



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-07-07


Ersetze mal jeweils das "\(\in\)" durch "\(\subset\)", dann stimmt es.

Und was folgt nun daraus?



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Ahja klar, Danke!
Naja dass $ker A + im(A^{T}) = \mathbb{R}^{n}$ und, weil der Schnitt trivial ist, dass $ker A \oplus im(A^{T}) = \mathbb{R}^{n}$?

VG X3nion



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-07-07


Jupp, der einzige \(n\)-dimensionale Unterraum des \(\mathbb{R}^n\) ist ja der \(\mathbb{R}^n\) selber



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-08


Ja das ergibt Sinn - Danke dir für deine Hilfe! 🤗

Viele Grüße,
X3nion



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12 13:16


Sorry, jetzt muss ich doch noch einmal kurz nachhaken:

2020-07-07 00:23 - X3nion in Beitrag No. 12 schreibt:
Hmm der Rang von $A^{T}$ und A ist derselbe, und daraus folgt aus dem Rangsatz: $rk(A^{T}A) \le min \{rk(A^{T}), rk(A)\} = rk(A) = rk(A^{T})$.
Gilt dann $im(A^{T}A) \subset im(A^{T})$ bzw. insgesamt
$n = dim (\ker(A^{T}A)) + dim (im(A^{T}A)) \le dim (\ker(A^{T}A)) + dim (im(A^{T}))$ ?

VG X3nion

Wieso können wir folgern, dass $im(A^{T}A) \subset im(A)$?
Ich fühle mich mit der Rangargumentation doch irgendwie nicht so warm.
Als Beispiel könnte ja $\{(1, 0, 0), (0, 1, 0)\}$ eine Basis von $im(A^{T}A)$ sein und $\{(1, 0, 0), (0, 0, 1)\}$ eine Basis von $im(A)$. Beide sind von selbem Rang, das eine ist keine Teilmenge vom anderen.

Könntest du oder könnte jemand anders mir das näher erläutern?
Ich wäre wie immer sehr dankbar!

VG X3nion



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-07-12 14:06


Es gilt in der Tat nicht \(im(A^TA) \subset im(A)\), das wurde auch nicht behauptet und würde auch gar keinen Sinn machen, da dies Unterräume unterschiedlicher Vektorräume wären, sofern \(A\) nicht eine quadratische Matrix ist.
Es gilt aber, wie behauptet, \(im(A^TA) \subset im(A^T)\). Denn sei \(y \in im(A^TA)\), d.h. es existiert ein \(x \in \mathbb{R}^n\), sodass \(y=A^TAx\). Dann ist aber \(y=A^TAx = A^T(Ax)\), also offenbar \(y \in im(A^T)\).



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12 14:15


Hi Kampfpudel und vielen Dank, das ergibt Sinn!

Also ist es in diesem Falle nicht zielführend, über den Rang zu argumentieren?

2020-07-07 00:23 - X3nion in Beitrag No. 12 schreibt:
Hmm der Rang von $A^{T}$ und A ist derselbe, und daraus folgt aus dem Rangsatz: $rk(A^{T}A) \le min \{rk(A^{T}), rk(A)\} = rk(A) = rk(A^{T})$

Und dass daraus $im(A^{T}A) \subset im(A^{T}$ gilt?


VG X3nion



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12 14:31


Edit: Thema ist noch offen



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2020-07-12 15:07


Eher andersherum: aus \(im(A^TA) \subset im(A^T)\) folgt, dass \(rk(A^TA) \leq rk(A^T)\). Genau das will man ja auch haben



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12 16:59


Stimmt, Danke!

Einen sonnigen Sonntag wünsche ich noch! 😎

VG X3nion



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X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
X3nion hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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