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Mathematik » Analysis » Asymptotische Abschätzung a(x)/x
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Universität/Hochschule Asymptotische Abschätzung a(x)/x
Nuke_Gunray
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.07.2017
Mitteilungen: 28
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-03


Schönen Abend an die Bewohner des Matheplaneten,

ich hätte eine Frage: Angenommen, eine Funktion $a(x)$ ist positiv, stückweise stetig und das Integral $\int\limits_1^\infty \frac{a(x)}{x}\text{d}x$ existiert, welche asymptotische Aussage kann ich dann über $a(x)$ treffen?

Offensichtlich konvergiert $a(x)$ gegen 0, aber könnte man auch eine Abschätzung der Art $a(x) \leq  \frac{C}{\ln(x)^n}$ für ein $n\geq 1$ und ein $C>0$ treffen, da ja $\int\limits_1^\infty \frac{1}{x\ln(x)} \text{d}x$ nicht existieren würde?

Vielen Dank schonmal,
Martin



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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3616
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-04


Hallo Martin,
aus einer Ungleichung <math>\int\limits_a^b f(x) \text{d}x \le \int\limits_a^b g(x) \text{d}x</math> folgt nicht automatisch eine Abschätzung der Form \(f(x) \le C \cdot g(x) \) mit einer abhängig von \(f(x)\) gewählten Konstante \(C\), weil \(f(x)\) ausreichend schmale Abschnitte haben kann, in denen \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) gegen Unendlich geht für \(x\) gegen \(b\). Diese Abschnitte sollen so schmal sein, dass \(f(x)\) immer noch integrierbar bleibt. Daraus folgt auch, das \(a(x)\) aus deiner Frage nicht unbedingt gegen Null konvergieren muss.

Viele Grüße,
  Stefan



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