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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Wie kommt man darauf, dass das Maximum auf dem Rand angenommen wird?
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Universität/Hochschule J Wie kommt man darauf, dass das Maximum auf dem Rand angenommen wird?
daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-04


Hallo,
ich gehe gerade alte Klausuren durch und mir ist leider aufgefallen, dass ich noch viele Probleme zum Thema metrische Räume habe.


Ich habe leider zu dieser Aufgabe keine Lösungen und viele Fragen zur Herangehensweise.

Zunächst einmal stelle ich mir die Frage (auch wenn es eigentlich nicht Teil der Aufgabenstellung ist) wie man darauf kommt, dass die angegebene gerade dem Rand von K entspricht. Ich habe das noch nie gesehen, dass man von einer gegebenen Funktion den Rand bestimmt und auch als ich mir das Ganze mal zeichnen lassen habe, habe ich keine wirkliche Erleuchtung gehabt.

Und bei der eigentlichen Aufgabe bin ich zunächst so vorgegangen, dass ich zunächst einmal geschuat habe, ob lokale Extrema vorliegen, was nicht der Fall ist. Deshalb frage ich mich, wie man auf diese Gerade kommt, auf der K ihr Maximum annimmt.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte (Sei es auch nur bei einem Teil meines Problems)

Viele Grüße
daenerystargaryen



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

für den ersten Teil deiner Frage reicht meiner Ansicht nach die folgende Überlegung: da \(x\ge 0\) und \(y\ge 0\) sind, besteht dein Funktionsterm aus einem Produkt zweier nichtnegativer streng monoton wachsender Funktionen. Also muss das Maximum irgendwo dort angenommen werden, wo man das "Wachstumspotenzial" der beiden Variablen möglichst optimal ausschöpft. Und das muss eben irgendwo auf dieser Berandungsgeraden \(x+3y=10\) sein. Denn wäre es nicht dort, dann könntest du mindestens eine der Variablen noch vergrößern und damit würde das Produkt eben auch anwachsen.


Gruß, Diophant

PS: hat das irgendeinen tieferen Sinn, dass du die Frage in "Topologie" eingeordnet hast?
\(\endgroup\)


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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04


Hallo, vielen Dank für deine Hilfe, den ersten Teil habe ich nun verstanden:)



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-04


2020-07-04 15:43 - daenerystargaryen in Beitrag No. 2 schreibt:
den ersten Teil habe ich nun verstanden

Bisher wurde nur argumentiert: Wenn die Funktion ihr Maximum annimmt, dann liegt es auf diesem Teil des Randes.

Es fehlt noch: Warum nimmt die Funktion ihr Maximum überhaupt an?



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04


Hallo zippy, danke für deine Antwort:) Kann man hier mit Stetigkeit argumentieren, oder vergesse/verwechsel ich hier etwas?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-04


2020-07-04 21:14 - daenerystargaryen in Beitrag No. 4 schreibt:
Kann man hier mit Stetigkeit argumentieren...

Stetigkeit + Kompaktheit von $K$.



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04


ok, vielen Dank für die präzise Antwort:)



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