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Universität/Hochschule J Affine Abbildungen und Dreiecke
thepower180
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-04


Hallo lieber Matheplanet,

bei folgender Aufgabe habe ich zumindest teilweise einige Problem. Der erste Teil der Aufgabe lautet:

"Seien ABC und A'B'C' zwei Dreiecke, so gibt es genau eine affine Abbildung, die A auf A', B auf B' und C auf C' abbildet."

Diese Aussage konnte ich bereits beweisen. Hier liegt nicht das Problem. Jedoch schließt sich an den Beweis eine offene Zusatzfrage an:

"Seien ABC und A'B'C' Dreiecke mit beliebigen Koordinaten. Wie viele Kongruenzabbildungen, wie viele Ähnlichkeitsabbildungen und wie viele affine Abbildungen gibt es, die das erste Dreieck auf das zweite Dreieck abbilden?"

Bislang dachte ich eigentlich, dass eine Kongruenzabbildung nur dann vorliegt, wenn die Dreiecke auch wirklich kongruent sind. Warum gibt es also überhaupt eine Kongruenzabbildung, die ein Dreieck auf ein zweites, beliebiges Dreieck abbildet?

Weiterhin denke ich, dass es sechs affine Abbildungen gibt, die das Dreieck ABC auf A'B'C' abbilden. Ich kann ja A auf A', aber auch A auf B' oder A auf C' abbilden. Dadurch ergeben sich sechs Kombinationsmöglichkeiten. Also denke ich, dass sechs affine Abbildungen möglich sind. Bei den Kongruenzabbildungen und den Ähnlichkeitsabbildungen bin ich jedoch planlos.

Liebe Grüße
thepower180



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-04


Hallo,

die Frage ergibt irgendwie keinen Sinn.

Sind die beiden Dreiecke kongruent, dann gibt es genau eine Kongruenzabbildung, die ABC auf A'B'C' abbildet. Diese ist naturgemäß auch ein Spezielfall einer Ähnlichkeitsabbildung und ebenso einer affinen Abbildung.

Sind die beiden Dreiecke 'nur' ähnlich, dann gibt es eine Ähnlichkeitsabbildung, die eben auch eine affine Abbildung ist.

Sind es beliebige Dreiecke und sind sie insbesondere nicht ähnlich, dann gibt es eben wie bewiesen genau eine affine Abbildung, die ABC auf A'B'C' abbildet.

Ist das denn der Originalwortlaut der Aufgabe?

Das mit den sechs affinen Abbildungen ist klar falsch. Denn es wird ja von vornherein gefordert, dass A auf A', B auf B' und C auf C' abgebildet werden.


Gruß, Diophant



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thepower180
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04


Ich gebe nochmal den originalen Wortlaut der Aufgabe wider. Aber ich glaube nicht, dass es das besser macht. Ich verstehe die Aufgabe auch nicht so recht.

Der originale Wortlaut ist: „Du erhältst die Koordinaten von zwei verschiedenen Dreiecken. Wie groß ist die Anzahl der Kongruenzabbildungen, die das erste auf das zweite Dreieck abbilden? Welche der Antworten 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7 sind definitiv falsch?  Was ändert sich, wenn man Kongruenzabbildungen durch Ähnlichkeitsabbildungen oder affine Abbildungen ersetzt?“

Ich verstehe diesen Teil der Aufgabe leider auch nicht und habe keinen Plan, was damit gemeint sein könnte.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-04


Hallo,

es könnte sein, dass es in diesem Aufgabenteil tatsächlich nicht mehr darum geht, dass die Ecken passend zugeordnet werden. Dann müsstest du dir zunächsteinaml überlegen, in welchen Fällen überhaupt eine Kongruenzabbildung vorliegen kann (gesetzt den Fall, die beiden Dreiecke seien kongruent).

Tipp: eine Kongruenzabbildung erhält alle Längen und natürlich alle Winkel. Wie sieht das bei Ähnlichkeitsabbildungen aus, wie bei affinen Abbildungen?

So müsstest du nun alle genannten Fälle durchspielen. Und das ganze dann auch für ähnliche Dreiecke sowie für beliebige.

Ist aber jetzt von meiner Seite aus doch arg im Nebel gestochert, um ehrlich zu sein.


Gruß, Diophant



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thepower180
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04


Ich würde nun zu dem Ergebnis kommen, dass es bei beliebigen Dreiecken wie oben beschrieben 6 mögliche affine Abbildungen gibt. Bei Kongruenzabbildungen und Ähnlichkeitsabbildungen sollte es jedoch nur eine einzige geben, weil die Ecken ja in bestimmter Reihenfolge aufeinander abgebildet werden können. Stimmt diese Annahme?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-05


Hallo,

2020-07-04 20:56 - thepower180 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich würde nun zu dem Ergebnis kommen, dass es bei beliebigen Dreiecken wie oben beschrieben 6 mögliche affine Abbildungen gibt. Bei Kongruenzabbildungen und Ähnlichkeitsabbildungen sollte es jedoch nur eine einzige geben, weil die Ecken ja in bestimmter Reihenfolge aufeinander abgebildet werden können. Stimmt diese Annahme?

Du solltest ersteinmal zu einer sinnvollen Interpretation der Aufgabe finden. Enweder du nimmst hier durchgehend an, dass die Ecken passend aufeinander abgebildet werden, oder du lässt diese Forderung durchgehend weg. Sonst ergibt die Frage  - für mich jedenfalls - keinen Sinn.

Laut Aufgabenstellung betrachtet man ja zunächsteinmal beliebige Dreiecke und ausschließlich Kongruenzabbildungen. Außerdem ist die zentrale Frage ja die, welche Anzahlen an unterschiedlichen Abbildungen definitiv nicht vorkommen können.

Dazu würde ich - zunächst immer unter der Annahme einer Kongruenzabbildung - verschiedene Dreieckstypen betrachten, insbesondere

  • gleichseitige
  • gleichschenklige
  • beliebige

    Dreiecke. Den Anfang könnte der Fall machen, dass beide Dreiecke nicht kongruent sind. Dann gibt es auch keine Kongruenzabbildung. Also ist die Anzahl 0 möglich.

    Wie sieht es jetzt mit kongruenten Dreiecken aus, wenn man die Forderung fallen lässt, dass die entsprechenden Eckpunkte aufeinander abgebildet werden müssen? Welche Anzahlen an Kongruenzabbildungen kann es nicht geben?

    Und dann geht es weiter, indem man das gleiche Spielchen auf Ähnlichkeits- und auf affine Abbildungen ausweitet.


    Gruß, Diophant


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    Hallo lieber Diophant,

    vielen Dank für deine Anregungen. Ich glaube, ich habe den Sinn der Aufgabe allmählich verstanden. Ich lasse nun die Annahme, dass die Ecken in bestimmter Reihenfolge abgebildet werden müssen, fallen.

    Für Kongruenzabbildungen komme ich nun auf folgendes Ergebnis. Wenn die Dreiecke nicht kongruent sind, dann gibt es - wie du bereits gesagt hast - natürlich auch keine Kongruenzabbildung. Seien die Dreiecke nun beliebig, aber kongruent. Dann gibt es nur eine Kongruenzabbildung, die auch wirklich die Kongruenz der Figuren erhält. Seien nun die Dreiecke ABC und A'B'C' gleichschenklig und kongruent, wobei die Winkel bei A und bei B gleich groß sind. Dann gibt es zwei mögliche Kongruenzabbildungen, da ich immer C auf C' abbilden muss, aber A und B vertauschen kann. Wenn das Dreieck nun gleichseitig ist, dann gibt es wiederum sechs unterschiedliche Möglichkeiten.

    Bei Ähnlichkeitsabbildungen bin ich eigentlich zu genau demselben Ergebnis gekommen. Sind die Dreiecke nicht ähnlich, so gibt es keine Abbildung. Sind die Dreiecke ähnlich, aber beliebig, so sind die Ecken nicht vertauschbar, weshalb es nur eine Abbildung geben kann. Bei gleichschenkligen, ähnlichen Dreiecken gäbe es zwei und bei gleichseitigen und ähnlichen Dreiecken gäbe es sechs Möglichkeiten.

    Zuletzt noch zu den affinen Abbildungen. Hier gibt es meiner Ansicht nach für jedes beliebige Dreieck bereits sechs Möglichkeiten, wenn die Ecken nicht in bestimmter Reihenfolge aufeinander abgebildet werden müssen. Somit ist sechs die einzige mögliche Antwort.

    Liebe Grüße
    thepower180



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    Diophant
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    Hallo thepower180,

    ja: auf diese Resultate bin ich auch gekommen.


    Gruß, Diophant



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    Lieber Diophant,

    du bist genial. Dankeschön!

    Liebe Grüße
    thepower180



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