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Mathematik » Stochastik und Statistik » Bestimmung Freiheitsgrade - Chi-Quadrat - Signal in Superposition mit systematischem Fehler
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Kein bestimmter Bereich Bestimmung Freiheitsgrade - Chi-Quadrat - Signal in Superposition mit systematischem Fehler
sebp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-05



Hallo,
ich habe Messdaten aus einem physikalischen Experiment und eine Theorie.
Ich habe auch 3 Parameter der Theorie, mittels Minimierung des Chi-Quadrat,
aus den Messdaten ermittelt.

Ich möchte nun die Anzahl der Freiheitsgrade bestimmen,
um das reduzierte Chi-Quadrat und den p-Wert zu berechnen.

Mir ist nicht klar wie ich das nun machen muss.


Verallgemeinerte Erklärungen zu den Daten und der Theorie:

Ich erwarte ein theoretisches Signal \( Y(t,x) = a(t)*sin(x-p(t)) \).
Die Amplitude und die Phase sind abhängig von der Uhrzeit.
Es wird nun an n verschiedenen gleichabständigen Orten \(x_i\) die Amplitude gemessen.
Die Orte \(x_i\) decken zwei Perioden ab.

Das gemessene Signal y besteht aber aus dem theoretischen Signal Y und
einem, ebenfalls doppelperiodischen, systematischen Fehler e.
\(e = a*sin(x-b)\)
\(y = Y + e\)
\(y = a(t)*sin(x-p(t)) + a*sin(x-b)\)

Dieser systematische Fehler ist unbekannt, aber kann für einen größeren Zeitraum
als konstant angenommen werden.


Messvorgang:
Es wird an jedem Ort \(x_i\) 20 mal die Amplitude gemessen.
Der zufällige Messfehler ist Gauß-verteilt.
Daraus entsteht dann ein Datensatz aus Schätzwerten mit Unsicherheiten.
(Wenn ich mich jetzt auf y und \(x_i\) beziehen meine ich die Schätzwerte.)
Für die Dauer der Messung kann man \(a(t)\) und \(p(t)\) auch als konstant annehmen.

Datenverarbeitung:
Wenn man an zwei Zeitpunkten \(t_1 \)und \(t_2\) Messungen vornimmt,
also zwei Signale \(y_1\) und \(y_2\) erhält,
dann erhält man ein Differenzsignal d ohne systematischen Fehler
\(d = y_1-y_2 \approx Y_1-Y_2\),
aber immer noch mit einem zufälligen Fehler.

Weil man eine Doppelperiode hat, kann beide Perioden "übereinander legen"
und den Mittelwert bilden, Funktion \(M()\). Dadurch verringeren sich die
Unsicherheiten der \(x_i\) und einfach periodische Fehler verschwinden (Interferenz).
Außerdem halbiert sich die Anzahl n der \(x_i\). Man erhält das Signal

\(z = M(d) \)

Mit einer Anzahl m an Signalen \(z_k\) minimiert man nun die Abweichung zwischen
\(z_k\) und dem theoretischen Differenzsignal \(Z_k\) und erhält,
in meinem Fall, 3 Parameter.




Ich frage mich nun wieviele Freiheitsgrade f man hat:

1) Was ist mit den Zeiten t? Es sind Daten die zur Messungen gehören und
werden von der Theorie benötigt. Zählen sie zu den Freiheitsgraden?
2) Wenn ja, wie zähle ich t, wenn ich mit \(M()\) die Doppelperiode mittle?
3) Wie zähle ich, wenn ein y mehrfach verrechnet wird? (Beispiel 2)

Mindestens sollte f sein:
\(f >= m*(n/2)-3\)



Beispiel 1:
Ich messe zu vier verschiedenen Zeiten \(t_1,t_2,t_3,t_4\) die Signale \(y_1,y_2,y_3,y_4\)
und berechne aus den Daten die \(z_k\) und aus der Theorie die \(Z_k\).
\(z_1 = M(y_1-y_2)\)
\(z_2 = M(y_3-y_4)\)

Die Anzahl der Freiheitsgrade f ist dann mindestens:
\(f >= (n/2)*2 - 3\)



Beispiel 2:
Ich messe zu drei verschiedenen Zeiten \(t_1,t_2,t_3\) die Signale \(y_1,y_2,y_3\)
und berechne aus den Daten die \(z_k\) und aus der Theorie die \(Z_k\).
\(z_1 = M(y_1-y_2)\)
\(z_2 = M(y_2-y_3)\)
\(z_3 = M(y_3-y_1)\)

Die Anzahl der Freiheitsgrade f ist dann mindestens:
\(f >= ?\)



Lohnt es sich überhaupt darüber nachzudenken?
Kann man nicht einfach die Freiheitsgrade numerisch,
mit ideal Gauß-verteilten Testdaten, ausrechnen?



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sebp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


Ich glaube ich habe zu viel geschrieben...
Ganz allgemein ist meine Frage:

Wenn ich mehrere Daten habe, diese aber erst verrechne,
und manche Daten auch mehrfach,
und ich erst dann den Chi-Quadrat-Test mache,
wie normiere ich dann mein Chi-Quadrat?



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