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Analysis » Funktionen » Extremwertproblem mit Nebenbedingung - Konstante L bestimmen, sodass p <= Lq gilt
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Universität/Hochschule Extremwertproblem mit Nebenbedingung - Konstante L bestimmen, sodass p <= Lq gilt
LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-07

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Guten Tag.

Ich rechne derzeitig ein paar Altklausuren durch, als Vorbereitung für meine anstehende Ana 2 Klausur. Ich bin auf diese Aufgabe gestoßen:



Mir wurde der Tipp gegeben, diese Aufgabe in eine Extremwert-Aufgabe unter Nebenbedingungen umzuschreiben, nur leider weiss ich nicht genau, wie man das macht... Mir sind Aufgaben bekannt, wo man eine Funktion f gegeben hat und eine Mannigfaltigkeit M, diese lässt sich wiederrum mithilfe einer Funktion G als \( M = G^{-1} (0)\) schreiben, dann kann man sich diese Lagrange-Funktion \( L(x, \lambda) = f(x) + \lambda G(x)\) definieren, jetzt sucht man nach Punkten x auf M, sodass \( DL(x, \lambda) = 0\) wird. Das sind dann die kritischen Punkte, die setzt man dann wieder in f ein und untersucht sie auf (lokale / globale) Maximalität/Minimalität. Solche Extremwertaufgaben denke ich verstanden zu haben.

Aber wie soll das in diesem Fall funktionieren? Welche Funktion möchte man maximieren und unter welcher Nebenbedingung? Das ist mir nicht wirklich klar, kann mir da jemand einen kleinen Tipp geben? Oder ist der Ansatz mit Lagrange hier an sich nicht der richtige?
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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-07


Der Ansatz besteht darin $p$ zu maximieren bzw. zu minimieren, während $q$ konstant gehalten wird. Die Rollen von $p$ und $q$ kann man dabei auch vertauschen.
Es wird sich eine Ungleichungskette der folgenden Art ergeben:
Wenn $q(x,y,z)=C$ gilt, dann gilt $c_1\cdot C \leq p(x,y,z) \leq  c_2\cdot C$ für passende Konstanten $c_1$ und $c_2$, die noch zu bestimmen sind.
Daraus kann man dann $L$ und $K$ ermitteln.

Es bietet sich an, statt $p$ und $q$ die Funktionen $p^4$ und $q^4$ zu betrachten.

Man kann auch feststellen, dass sich beide Funktionen um den Faktor $|\lambda|$ ändern, wenn man $x, y$ und $z$ jeweils mit $\lambda$ multipliziert. Damit könnte man eine der Variablen, z.B. $x$ konstant gleich 1 halten, wodurch sich vielleicht die Rechnung vereinfacht.
Allerdings muss man dann noch den Fall $x=0$ gesondert untersuchen.



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