Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Adjungierter Operator
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Adjungierter Operator
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 220
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-08


Sei $T \in \mathcal{L}(X,Y)$. Bei uns wurde der adjungierte Operator eingeführt als Operator $T':Y' \to X'$ für den folgendes gilt:

\[
(T'y')(x) = y'(Tx),\quad y'\in Y',x\in X
\]
So jetzt gibt es folgendem Skript( ) ein Beispiel direkt auf der 2.Seite(Beispiel 8.4), wie man aus einem gegebenen Operator, den Adjungierten berechnet.

Im Beispiel wird aber unsere Voraussetzung irgendwie komisch benutzt.
Wieso ist in dem Beispiel $(T'y)(x) = y(Tx)$ wenn $y\in \mathcal{l}^{\infty}$

Muss $y$ nicht ein Operator sein ?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1340
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-08


2020-07-08 16:53 - Pter87 im Themenstart schreibt:
Muss $y$ nicht ein Operator sein ?

Warum sollte das ein Operator sein?

Diese Gleichung stimmt doch genau mit der überein, die du zuerst hingeschrieben hast. Es wird lediglich mit $y$ bzeichnet, was du mit $y'$ bezeichnest. Und wenn bei dir $y'$ kein Operator ist, warum sollte es dann hier $y$ sein?

--zippy



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 220
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-08


Also bei uns ist $X' = \mathcal{L}(X,\mathbb{K}), Y' = \mathcal{L}(Y,\mathbb{K})$



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1340
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-08


2020-07-08 17:16 - Pter87 in Beitrag No. 2 schreibt:
Also bei uns ist $X' = \mathcal{L}(X,\mathbb{K}), Y' = \mathcal{L}(Y,\mathbb{K})$

Aber deswegen musst man doch nicht notwendigerweise Buchstaben, die Elemente dieser Räume bezeichnen, mit einem Strich verzieren.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 220
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-08


Er schreibt doch direkt über dieser Gleichung "Let $y = (y_j) \text{ in } \mathcal{l}^{\infty}$" also ist das $y$ da anscheinend kein Operator oder übersehe ich irgendwas. In unserem Fall ist ja nach Definition $y' \in Y'$.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1340
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-08


2020-07-08 17:28 - Pter87 in Beitrag No. 4 schreibt:
Er schreibt doch direkt über dieser Gleichung "Let $y = (y_j) \text{ in } \mathcal{l}^{\infty}$" also ist das $y$ da anscheinend kein Operator oder übersehe ich irgendwas

Du meinst also mit "Operator" eine Linearform.

Du übersiehst, dass ganz am Anfang des Beispiels $(\ell^1)'$ mit $\ell^\infty$ identifiziert wird: Für $y\in\ell^\infty$ ist $Jy$ eine Linearform auf $\ell^1$, also ein Element von $(\ell^1)'$. Und dieses $J$ wird nicht explizit hingeschrieben ("we shall suppress the map $J$ ...").



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 220
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-08


Ja, ich meinte in diesem Fall mit Operator immer die Linearform.
Achso also würde da eigentlich stehen $(T'(Jy))(x) = (Jy)(Tx)$

Wie genau sieht dieser Isomorphismus J eigentlich aus ?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1340
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-08


2020-07-08 17:55 - Pter87 in Beitrag No. 6 schreibt:
Wie genau sieht dieser Isomorphismus J eigentlich aus ?

Dieses $J$ wird mit ziemlicher Sicherheit in dem Text vorher irgendwo definiert worden sein.

Aber man kann es sich auch denken: $\displaystyle
(Jy)(x) = \sum_{j=1}^\infty y_j\,x_j$



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 220
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-08


Mir ist noch nicht genau klar, wie er von $(T'(Jy))(e_n))$ auf diesen Summenausdruck links kommt.

Wahrscheinlich ist dann $(T'(Jy)):\ell^{\infty} \to (\ell^1)'$ ebenfalls darstellbar durch so eine Summe ?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1340
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-07-08


2020-07-08 18:26 - Pter87 in Beitrag No. 8 schreibt:
Mir ist noch nicht genau klar, wie er von $(T'(Jy))(e_n))$ auf diesen Summenausdruck links kommt.

Es wird eigentlich nur eingesetzt, was in den beiden Zeilen unmittelbar über dieser Formel steht...

Versuch doch mal, von diesem sinnlosen $J$ loszukommen. Das wird nicht ohne Grund in dem Text weggelassen. Es versperrt dir die Sicht auf das Wesentliche.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 220
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-08


Ich bin noch nicht lange in diesem Thema und deswegen bin ich gerade etwas verwirrt. Für mich sieht das mit der Summe wie ein Skalarprodukt von $\beta$ und $e_n$ aus, aber das hatten wir noch nicht...



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1340
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-07-08


2020-07-08 18:58 - Pter87 in Beitrag No. 10 schreibt:
Für mich sieht das mit der Summe wie ein Skalarprodukt von $\beta$ und $e_n$ aus, aber das hatten wir noch nicht...

Das ist kein Skalarprodukt, weil die beteiligten Vektoren nicht aus demselben Raum stammen.

Aber die Formel $\displaystyle
(Jy)(x) = \sum_{j=1}^\infty y_j\,x_j$ sollte doch klarmachen, woher die Ähnlichkeit mit einem Skalarprodukt kommt.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 220
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-08


Kannst du mir erklären wieso $T'y = (\beta_j)$ ?
Natürlich ist das der Fall wenn man $T'$ als Operator von $\ell^{\infty}$ nach $\ell^{\infty}$ ansieht. Wie komme ich denn auf dieselbe Aussage, wenn ich $T':(\ell^1)' \to (\ell^1)'$ betrachte ?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1340
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-07-08 21:11


2020-07-08 19:24 - Pter87 in Beitrag No. 12 schreibt:
Natürlich ist das der Fall wenn man $T'$ als Operator von $\ell^{\infty}$ nach $\ell^{\infty}$ ansieht. Wie komme ich denn auf dieselbe Aussage, wenn ich $T':(\ell^1)' \to (\ell^1)'$ betrachte ?

Da ist eigentlich gar nichts mehr zu zeigen, denn der erste Operator (ich schreibe mal einen Index 1 dran) hängt mit dem zweiten (Index 2) einfach über $J\,T'_1J^{-1} = T'_2$ zusammen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]