Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Grenzwerte » Sandwich-Lemma
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Sandwich-Lemma
Sandrob
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.03.2020
Mitteilungen: 96
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Guten Tag,

Ich habe in der Vorlesung beim Thema Folgen & Grenzwerte gerade das Sandwich-Lemma kennengelernt und unser Prof wollte dies nicht formal beweisen. Nun habe ich dies als Übung für mich selber versucht und bin nicht ganz sicher, ob meine Beweisschritte alle hinreichend sind (vor allem beim Schluss bin ich mir ziemlich unsicher).

Hier zum einen das Lemma:

Angenommen $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$, $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$ und $(c_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sind reelle Folgen mit $a_n\leq b_n\leq c_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Weiterhin möchten wir voraussetzen, dass $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{c_n}=A$. Dann gilt auch $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{b_n}=A$.

Meine Beweisskizze sieht bis jetzt wie folgt aus:

Sei $\varepsilon >0$. Aufgrund der Konvergenz finden wir ein $N_1\in \mathbb{N} \forall n\in \mathbb{N}: n\geq N \Rightarrow d(a_n,A)<\varepsilon$. Analog dazu finden wir ein $N_2\in \mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}: n\geq N \Rightarrow d(c_n,A)<\varepsilon$. Nehmen wir nun $N=\max\{N_1, N_2\}$.

Dann gilt für alle $n\leq N$, dass $a_n\in (A-\varepsilon,A+\varepsilon)$ und ebenfalls $c_n\in (A-\varepsilon,A+\varepsilon)$. Aus der Annahme wissen wir zudem, dass $a_n\leq b_n\leq c_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt. Deswegen können wir auch sagen, dass $b_n\in (A-\varepsilon,A+\varepsilon)$ gilt. Dies umgeschrieben heisst jedoch wieder nichts anderes, als $d(b_n,A)<\varepsilon$. Somit ist das Lemma bewiesen.

Findet ihr das in Ordnung und logisch korrekt?
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6166
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-09


Hallo Sandrob,

bis auf Kleinigkeiten ist das okay. (Ein paar Indizes vergessen, Ungleichheitszeichen verkehrt herum)

Wenn du beim letzten Schritt noch unsicher bist, solltest du es dir noch einmal genauer überlegen. Also, wieso gilt $b_n\in (A-\varepsilon,A+\varepsilon)$?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sandrob
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.03.2020
Mitteilungen: 96
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11


Hallo StrgAltEntf,

Sorry für meine verspätete Antwort!
Den Fehler mit dem verkehrten Ungleichheitszeichen habe ich entdeckt. Wo genau fehlen denn noch die Indizes?

Beim letzen Schritt bin ich mir eigentlich schon ziemlich sicher. Ich weiss halt einfach nicht ganz, ob mein Argument formal genug ist?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Gilles200
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 09.05.2020
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-11


2020-07-09 15:01 - Sandrob im Themenstart schreibt:

Sei $\varepsilon >0$. Aufgrund der Konvergenz finden wir ein $N_1\in \mathbb{N} \forall n\in \mathbb{N}: n\geq N \Rightarrow d(a_n,A)<\varepsilon$. Analog dazu finden wir ein $N_2\in \mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}: n\geq N \Rightarrow d(c_n,A)<\varepsilon$.

Es fehlen die Indizes der N.

Sei $\varepsilon >0$. Aufgrund der Konvergenz finden wir ein $N_1\in \mathbb{N} \forall n\in \mathbb{N}: n\geq N_{1} \Rightarrow d(a_n,A)<\varepsilon$. Analog dazu finden wir ein $N_2\in \mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}: n\geq N_{2} \Rightarrow d(c_n,A)<\varepsilon$.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sandrob
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.03.2020
Mitteilungen: 96
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11


Hallo Gilles200,

Oh stimmt, das habe ich völlig übersehen. Danke vielmals für deine Korrektur!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sandrob hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sandrob hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Sandrob wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]