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Analysis » Grenzwerte » Widerspruch mit L'Hospital
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Universität/Hochschule J Widerspruch mit L'Hospital
rubberbone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-10 12:13


Hallo,

betrachten wir die Funktionen f und g gegeben durch:
f(x)= x+sin(x)*cos(x) und
g(x)= f(x)*exp(sin(x))
Nebenbei beachte man, dass sowohl f als auch g bestimmt gegen unendlich divergieren, für x -> unendlich.
Jetzt betrachte man den Grenzwert von f(x)/g(x) für x -> unendlich.
f(x)/g(x)=f(x)/(f(x)*exp(sin(x)))=exp(-sin(x)).
Dieser Quotient divergiert offensichtlich unbestimmt zwischen 1/e und e (ich hoffe man kann das so sagen).

Da aber f(x) und g(x) beide bestimmt gegen unendlich divergieren, darf man L'Hospital anwenden:
Berechnet man also den Grenzwert von f'(x)/g'(x) für x -> unendlich.
Nach ein wenig Rechnen, welches ich mir hier gerne sparen würde, findet man, dass dieser Grenzwert 0 ist.
Nach L'Hospital müsste auch der Grenzwert von exp(-sin(x))=0 sein.
Aber das ist er ganz klar nicht. Wo ist der Fehler in der Argumentation?

Bitte entschuldigt die fehlende Benutzung von LaTeX oder fedgeo. Ich hoffe man versteht trotzdem, was ich meine.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-10 12:21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

da ist dir ein Denkfehler unterlaufen. Wenn du den Quotient dieser beiden Funktione bildest, kürzt sich die Funktion f ja sofort heraus und es entsteht der Term

\[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{e^{\sin x}}=e^{-\sin x}\]
Damit sollte klar sein, dass de l'Hospital hier nicht angewendet werden kann bzw. um genauer zu sein: das die Anwendung der Regel hier keinen Sinn macht.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-10 12:31


Huhu,

siehe unter 6: pital%27s_rule

Gruß,

Küstenkind

edit: Irgendwie geht der Link nicht. Gehe zur englischen Wiki-Seite für L'Hospital.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-10 12:39


Hallo,

hier noch der Link von Kuestenkind:

L'Hôpital's rule


Gruß, Diophant



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rubberbone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10 13:16


Aber es steht doch nirgends in der Regel de L'Hospital, dass ich den Bruch zuerst kürzen muss oder?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-10 13:19


2020-07-10 13:16 - rubberbone in Beitrag No. 4 schreibt:
Aber es steht doch nirgends in der Regel de L'Hospital, dass ich den Bruch zuerst kürzen muss oder?

Das ist richtig. Die Begründung, warum dein Beisiel nicht fnktiniert, steht auf der englischen Wikipedia. (Dort steht genau dein Beispiel.)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-10 13:20


Hallo,

2020-07-10 13:16 - rubberbone in Beitrag No. 4 schreibt:
Aber es steht doch nirgends in der Regel de L'Hospital, dass ich den Bruch zuerst kürzen muss oder?

nein, natürlich nicht. Das war ein Automatismus von meiner Seite aus: als erstes die betreffenden Terme vereinfachen, wenn es um Grenzwerte geht.

Für den Fall, dass du nicht kürzen möchtest bzw. die Möglichkeit nicht siehst, war ja der Link von Kuestenkind gedacht: eine wichtige Voraussetzung für die Anwendung der Regel ist nämlich nicht erfüllt.

Siehst du selbst, welche das ist?


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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rubberbone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10 13:23


Es ist wohl die Bedingung, dass g'(x) in der Nähe von c (hier unendlich) ungleich 0 sein muss. Aber haben wir nicht schon festgestellt, dass g' gegen unendlich divergiert?

Danke für die Antworten.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-10 13:28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

schreibe dir die Ableitung von g einmal auf und vereinfache noch geeignet: sie nimmt unendlich oft den Wert 0 an, und zwar immer dann, wenn \(\cos x=0\) gilt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-07-10 13:33


2020-07-10 13:23 - rubberbone in Beitrag No. 7 schreibt:
Aber haben wir nicht schon festgestellt, dass g' gegen unendlich divergiert?

Nicht, das ich wüsste ...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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rubberbone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10 13:34


Also tritt das Problem auf weil man den Cosinus im letzten Schritt kürzt und deshalb der Grenzwert 0 entsteht.

Vielen Dank!

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-07-10 13:39


2020-07-10 13:34 - rubberbone in Beitrag No. 10 schreibt:
Also tritt das Problem auf weil man den Cosinus im letzten Schritt kürzt und deshalb der Grenzwert 0 entsteht.

Nein. Das Problem tritt auf, weil der Term keinen Grenzwert besitzt. Und die Voraussetzung zur Anwendung der Regel ist nicht gegeben, weil die Ableitung des Nenners unendlich oft Null wird.


Gruß, Diophant



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rubberbone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10 13:49


Genau. Ich meinte mein Problem, dass g'(x) divergiere. Der Nenner von f'(x)/g'(x) divergiert gegen unendlich aber nur weil man den Cosinus kürzen kann und dann der Grenzwert von f'(x)/g'(x)=0 wird.

Danke ich hab jetzt verstanden was das Problem ist. Finde es aber komisch,dass die Bedingung g'(x) <> 0 so selten genannt wird.

Grüße



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