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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Fkt. mit |f(z)| = 1 auf B₁(0) ist konstant
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Universität/Hochschule J Holomorphe Fkt. mit |f(z)| = 1 auf B₁(0) ist konstant
math_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-12


Gebeben ist die folgende Aufgabe aus dem Staatsexamen in Analysis:
Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Jede holomorphe Funktion \(f: B_1(0) = \{z \in \mathbb{C}: |z| < 1\} \to \mathbb{C}\) mit \[|f(z)| = 1 \quad \text{ für alle } z \in B_1(0)\] ist konstant.

Mich würde interessieren, ob meine Begründung korrekt ist:

Meine Überlegung nutzt den Satz der Gebietstreue und einen indirekten Beweis. Die Wertemenge von \(f\) beschreibt eine Kreislinie um \(0\) mit Radius \(1\). Dies ist kein Gebiet, da die Menge nicht offen ist. Da \(B_1(0)\) ein Gebiet ist, muss nach dem Satz der Gebietstreue \(f\) konstant sein.

Sieht jemand noch eine weitere Möglichkeit die Aussage zu beweisen 😃?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-12


Hallo,

dein Beweis ist korrekt, wenn auch etwas durcheinander. "Die Wertemenge von $f$ beschreibt eine Kreislinie.." ist erstmal eine Aussage, die du noch beweisen müsstest. (Warum ist es eine gesamte Kreislinie, warum nicht nur ein Punkt oder ein diverse Teile einer Kreiskurve?). Hier nimmst du also iwie auch schon an, dass f nicht konstant ist.

Ich würde deinen Beweis so herum schreiben: Angenommen, f ist nicht konstant. Da $B_1(0)$ ein Gebiet ist, ist nach dem .. auch $f(B_1(0)$ ein Gebiet und insbesondere offen.
Jetzt noch (sauber) argumentieren, warum das ein Widerspruch ist.
(z.B. Angenommen zu $\epsilon >0$ ex. $f(x)\neq f(y)$ in $f(B_1(0))$ mit $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. Folgere hier mit Hilfe der umgekehrten Dreiecksungleichung einen Widerspruch)

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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math_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12


Hallo Creasy,

vielen Dank für deine Bestätigung meiner Überlegung. Du hast selbstverständlich Recht, dass das noch kein schöner formaler Beweis ist. Die Details kann ich ja noch ausarbeiten 😄.

Grüße
math_



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math_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-09


Nachdem ich mir nach Wochen diese Aufgabe zufällig nochmal angesehen habe, fällt mir auf, dass die Aussage doch falsch sein sollte.

Man kann sich dazu die Funktion \(f(z) = e^{iz}\) ansehen. Die Funktion ist auf ganz \(\mathbb{C}\) holomorph und damit insbesondere auf \(B_1(0)\) und erfüllt \[|f(z)| = |e^{iz}| = e^{iz} \cdot e^{-iz} = e^0 = 1\] für alle \(z \in B_1(0)\). Die Funktion \(f(z) = e^{iz}\) ist aber nicht konstant.



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philippw
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-09


2020-10-09 15:07 - math_ in Beitrag No. 3 schreibt:
\[|e^{iz}| = e^{iz} \cdot e^{-iz}\] für alle \(z \in B_1(0)\).

Die Gleichung stimmt nur für reelle z. Ist also kein Gegenbeispiel, f kann auch einen anderen Betrag als 1 haben, zum Glück für deinen Beweis :-)


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"Eine Wissenschaft ist erst dann als voll entwickelt anzusehen, wenn sie dahin gelangt ist, sich der Mathematik bedienen zu können."
Karl Marx



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-09

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Hallo math_

Dein Beweis ist zwar schon kein langer, aber es geht auch noch kürzer: Laut Voraussetzung nimmt $f$ ein Betragsmaximum an. Als holomorphe Funktion auf einem Gebiet ist $f$ dann nach dem Maximumprinzip konstant.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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math_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-11


Hallo Vercassivelaunos,

dass ich das nicht selbst gesehen habe 😖...
Vielen Dank 😄!

Viele Grüße
math_



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math_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
math_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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