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Funktionentheorie » Holomorphie » Wahr oder falsch? Stimmt mein Beweis?
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Universität/Hochschule J Wahr oder falsch? Stimmt mein Beweis?
math_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-12


Gebeben ist die folgende Aufgabe aus dem Staatsexamen in Analysis:
Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Jede holomorphe Funktion \(f: B_1(0) = \{z \in \mathbb{C}: |z| < 1\} \to \mathbb{C}\) mit \[|f(z)| = 1 \quad \text{ für alle } z \in B_1(0)\] ist konstant.

Mich würde interessieren, ob meine Begründung korrekt ist:

Meine Überlegung nutzt den Satz der Gebietstreue und einen indirekten Beweis. Die Wertemenge von \(f\) beschreibt eine Kreislinie um \(0\) mit Radius \(1\). Dies ist kein Gebiet, da die Menge nicht offen ist. Da \(B_1(0)\) ein Gebiet ist, muss nach dem Satz der Gebietstreue \(f\) konstant sein.

Sieht jemand noch eine weitere Möglichkeit die Aussage zu beweisen 😃?



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Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 534
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-12


Hallo,

dein Beweis ist korrekt, wenn auch etwas durcheinander. "Die Wertemenge von $f$ beschreibt eine Kreislinie.." ist erstmal eine Aussage, die du noch beweisen müsstest. (Warum ist es eine gesamte Kreislinie, warum nicht nur ein Punkt oder ein diverse Teile einer Kreiskurve?). Hier nimmst du also iwie auch schon an, dass f nicht konstant ist.

Ich würde deinen Beweis so herum schreiben: Angenommen, f ist nicht konstant. Da $B_1(0)$ ein Gebiet ist, ist nach dem .. auch $f(B_1(0)$ ein Gebiet und insbesondere offen.
Jetzt noch (sauber) argumentieren, warum das ein Widerspruch ist.
(z.B. Angenommen zu $\epsilon >0$ ex. $f(x)\neq f(y)$ in $f(B_1(0))$ mit $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. Folgere hier mit Hilfe der umgekehrten Dreiecksungleichung einen Widerspruch)

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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math_
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-12


Hallo Creasy,

vielen Dank für deine Bestätigung meiner Überlegung. Du hast selbstverständlich Recht, dass das noch kein schöner formaler Beweis ist. Die Details kann ich ja noch ausarbeiten 😄.

Grüße
math_



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math_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
math_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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