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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Galoiserweiterung und Fixgruppe
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Universität/Hochschule Galoiserweiterung und Fixgruppe
JonasR
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-12


Guten Abend,

ich habe momentan mit folgender Aufgabe zu kämpfen:

Seien $L/K$ und $F/K$ zwei galoissche Körpererweiterungen.
Zeigen Sie: Falls für jedes $\varphi \in Aut_{K}(L)$ ein $\varphi_{*} \in Aut_{K}(F)$ existiert mit $\varphi_{*}\vert_{L} = \varphi$, dann ist auch $F/K$ galoissch.


"Ansatz"

Ich schreibe mir kurz folgende Mengen auf, damit ich die Übersichtlichkeit beibehalte:

$Aut_{k}(L) = \{  \varphi: L \rightarrow L\; \vert\; \varphi\; \text{ist Körperisomorphismus mit}\; \varphi_{\vert K} = id_{\vert K}\}$
$Aut_{L}(F) = \{  \varphi': F \rightarrow F\; \vert\; \varphi'\;
 \text{ist Körperisomorphismus mit}\; \varphi'_{\vert L} = id_{\vert L}\}$
$Aut_{K}(F) = \{  \varphi'': F \rightarrow F\; \vert\; \varphi''\;
 \text{ist Körperisomorphismus mit}\; \varphi''_{\vert K} = id_{\vert K}\}$

Nach Voraussetzung sind $L/K$ und $F/L$ galoissch, d.h. es gelten die Gleichheiten

$K = Fix(Aut_{K}(L)) = \{ a \in L\; \vert \; \varphi(a) = a \quad \forall \varphi \in Aut_{K}(L))  \}$
$L = Fix(Aut_{L}(F)) = \{ b \in F\; \vert \; \varphi'(b) = b\quad \forall \varphi' \in Aut_{L}(F))  \}$

Zu zeigen ist, dass $F/K$ galoissch ist. Das heißt, es gilt die Gleichheit

$K = Fix(Aut_{K}(F)) = \{ c \in F\; \vert \; \varphi''(c) = c\quad \forall \varphi'' \in Aut_{K}(F))  \}$.

Nun tue ich mich schwer damit, mit der zusätzlichen Bedingung in der Aufgabenstellung einen vernünftigen Ansatz hinzuschreiben.
Nach Voraussetzung gilt zusätzlich, dass für jedes $\varphi \in Aut_{K}(L)$ ein $\varphi'' \in Aut_{K}(F)$ existiert mit $\varphi''_{\vert L} = \varphi$.

hat jemand Tipps für mich, wie ich diese Information in irgendeiner Weise auswerten könnte? Ich sitze seit Stunden an der Aufgabe und drehe mich die ganze Zeit im Kreis...

Viele Grüße,
Jonas



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-13


Du hast bereits Voraussetzungen und Behauptung hingeschrieben, aber (zumindest in dem Post) noch nicht angefangen, damit zu arbeiten. Es ist leichter, zu sehen, was zu tun ist, wenn man sie außerdem mit Elementen aufschreibt. Dann schreibt sich der Beweis sogar "automatisch" hin. Dahinter steckt eine Methode, die ich in diesen Artikel erklärt habe.

Also um zu zeigen, dass $F/K$ Galoisch ist, müssen wir ein $a \in F$ wählen, welches von allen $K$-Automorphismen von $F$ fixiert wird. Das ist unsere Ausgangssituation. Ziel ist es, $a \in K$ zu zeigen.

Nun haben wir drei Voraussetzungen:

a) $F/L$ ist Galoisch, also jedes Element von $F$, welches von allen $L$-Automorphismen von $F$ fixiert wird, liegt in $L$.
b) $L/K$ ist Galoisch, also jedes Element von $L$, welches von allen $K$-Automorphismen von $L$ fixiert wird, liegt in $K$.
c) Jeder $K$-Automorphismus von $L$ setzt sich zu einem $K$-Automorphismus von $F$ fort.

Welche Voraussetzungen wenden wir nun auf das gegebene Element $a \in F$ an? Natürlich a), weil nur hier von einem Element von $F$ die Rede ist. Mache dir klar, dass a) tatsächlich anwendbar ist (also dass $a$ von allen $L$-Automorphismen von $F$ fixiert wird). Folgere daraus $a \in L$.

Welche Voraussetzung wenden wir nun an? Natürlich b), weil nur dort von einem Element $a \in L$ die Rede ist. Mache dir klar, dass b) tatsächlich anwendbar ist (also dass $a$ von allen $K$-Automorphismen von $L$ fixiert wird). Dabei wirst du sehen, dass man notwendigerweise c) benutzen muss.

Mit b) folgt dann also $a \in K$. Und schon sind wir fertig.

Wie gesagt ist jeder Schritt in diesem Beweis erzwungen.



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JonasR
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13


Guten Abend!

Vielen vielen Dank für deine ausführlichen Tipps!😃 Ich konnte damit viel anfangen. Ich habe den Beweis unten weiter abgetippt.
Ist er so stimmig oder widerspreche ich mich noch irgendwo ?


Beweis:

Wir haben die Voraussetzungen:

a) $F/L$ ist Galoisch, also jedes Element von $F$, welches von allen $L$-Automorphismen von $F$ fixiert wird, liegt in $L$.
b) $L/K$ ist Galoisch, also jedes Element von $L$, welches von allen $K$-Automorphismen von $L$ fixiert wird, liegt in $K$.
c) Jeder $K$-Automorphismus von $L$ setzt sich zu einem $K$-Automorphismus von $F$ fort.

Zu zeigen ist:

$K = Fix(Aut_{K}(F)) = \{ c \in F\; \vert \; \varphi''(c) = c\quad \forall \varphi'' \in Aut_{K}(F))  \}$.

$\subseteq$

Sei $a \in K$ beliebig.Da für alle $\varphi'' \in Aut_{K}(F)$ die Gleichheit $\varphi''_{\vert\; K} = id_{K}$ gilt, ist trivialerweise $\varphi(a) = a\quad \forall \varphi'' \in Aut_{K}(F)$.

$\supseteq$

Sei $a \in F$ von allen $\varphi'' \in Aut_{K}(F)$ fixiert.

Da $Aut_{L}(F) \subseteq Aut_{K}(F) $ gilt (da $\varphi'_{\vert\; L} = id_{\vert\; L} \Rightarrow \varphi'_{\vert\; K} = id_{\vert\; K}$), wird $a$ von allen $\varphi' \in Aut_{L}(F)$ fixiert. Nach Voraussetzung $a)$ wissen wir, dass jedes Element von $F$, das von allen $\varphi' \in Aut_{L}(F)$ fixiert wird, in $L$ liegt. Also muss auch $a$ in $L$ liegen.
Da $a \in L$ ist, gilt $\varphi''_{\vert\; L}(a) = a\quad \forall \varphi'' \in Aut_{K}(F)$.
Nach Voraussetzung $c)$ gibt es zu jedem $\varphi \in Aut_{K}(L)$ ein $\varphi'' \in Aut_{K}(F)$ mit $\varphi''_{\vert\; L} = \varphi$, so dass es sicher $\varphi \in Aut_{K}(L)$ gibt mit $\varphi(a) = a$.
Nach Voraussetzung $b)$ wissen wir, dass jedes Element von $L$, das von allen $\varphi \in Aut_{K}(L)$ fixiert wird, in $K$ liegt. Also muss auch $a$ in $K$ liegen.

Ich würde mich auf eine Rückmeldung freuen.

Viele Grüße, Jonas



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-13


Das Ende des Beweises passt nicht.

2020-07-13 17:45 - JonasR in Beitrag No. 2 schreibt:
Da $a \in L$ ist, gilt $\varphi''_{\vert\; L}(a) = a\quad \forall \varphi'' \in Aut_{K}(F)$.
Nach Voraussetzung $c)$ gibt es zu jedem $\varphi \in Aut_{K}(L)$ ein $\varphi'' \in Aut_{K}(F)$ mit $\varphi''_{\vert\; L} = \varphi$, so dass es sicher $\varphi \in Aut_{K}(L)$ gibt mit $\varphi(a) = a$.
Nach Voraussetzung $b)$ wissen wir, dass jedes Element von $L$, das von allen $\varphi \in Aut_{K}(L)$ fixiert wird, in $K$ liegt. Also muss auch $a$ in $K$ liegen.

Schau dir bitte noch einmal genau an, was hier gegeben ist und was zu zeigen ist.



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JonasR
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13


Hallo! Ich habe erkannt, dass ich ein Tipp von dir nicht ganz befolgt habe. Ich habe davor nicht gezeigt, dass $a$ von allen $K$ - Automorphismen von $L$ fixiert wird, sondern irgendwas anderes (war wahrscheinlich zu müde).

Habe den Beweis korrigiert. Passt das nun so ?

$\supseteq$

Sei $a \in F$ von allen $\varphi'' \in Aut_{K}(F)$ fixiert.

Da $Aut_{L}(F) \subseteq Aut_{K}(F) $ gilt (da $\varphi'_{\vert\; L} = id_{\vert\; L} \Rightarrow \varphi'_{\vert\; K} = id_{\vert\; K}$), wird $a$ von allen $\varphi' \in Aut_{L}(F)$ fixiert. Nach Voraussetzung $a)$ wissen wir, dass jedes Element von $F$, das von allen $\varphi' \in Aut_{L}(F)$ fixiert wird, in $L$ liegt. Also muss auch $a$ in $L$ liegen.
Da $a \in L$ ist, gilt $\varphi''_{\vert\; L}(a) = a\quad \forall \varphi'' \in Aut_{K}(F)$.

Sei nun $\varphi \in Aut_{K}(L)$ beliebig. Nach Voraussetzung $c)$ existiert ein $\varphi'' \in Aut_{K}(F)$ mit $\varphi''_{\vert\; L} =  \varphi$. Wegen obiger Bemerkung gilt $a = \varphi''_{\vert\; L}(a) = \varphi(a)$.
Da $\varphi \in Aut_{K}(L)$ beliebig gewählt wurde, wird $a$ von allen $\varphi \in Aut_{K}(L)$ fixiert.
Nach Voraussetzung $b)$ wissen wir, dass jedes Element von $L$, das von allen $\varphi \in Aut_{K}(L)$ fixiert wird, in $K$ liegt. Also muss auch $a$ in $K$ liegen.


Viele Grüße, Jonas



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-14


Ja, das ist richtig!

Ich würde im Beweis ein paar Sachen weglassen, insbesondere Doppelungen und die Wiederholung der Voraussetzungen, außerdem die triviale Inklusion. Man kann auch den Beweis rein sprachlich führen, weil die Formeln hier keinen nennenswerten Beitrag haben. Der endgültige vollständige Beweis würde für mich dann so aussehen:

Um zu zeigen, dass $F/K$ Galoisch ist, sei $a \in F$ ein Element, das von allen $K$-Automorphismen von $F$ fixiert wird; wir müssen $a \in K$ zeigen. Wegen $K \subseteq L$ wird $a \in F$ von allen $L$-Automorphismen von $F$ fixiert. Weil $F/L$ nach Annahme Galoisch ist, folgt $a \in L$. Jeder $K$-Automorphismus von $L$ setzt sich nach Annahme auf $F$ fort, sodass er nach Annahme $a$ fixiert. Weil nach Annahme $L/K$ Galoisch ist, folgt $a \in K$. $\checkmark$



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