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  holomorphe injektive Funktion und Singularitäten |
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nitram999
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 |  Themenstart: 2020-07-24
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Hallo,
ich sitze an folgender Aufgabe:
Sei f: \IC\\{0} -> \IC holomorph und injektiv.
Zeigen Sie: In z=0 kann f keine wesentliche Singularität haben.
Sieht man das direkt aus dem Satz von Casorati Weierstraß?
Könntet ihr mir bitte weiterhelfen? Vielen Dank schon mal!
LG nitram999
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Vercassivelaunos
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| Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-24
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Hallo nitram999,
ja, Casorati-Weierstraß ist genau richtig. Wähle dazu eine offene punktierte Scheibe $\dot U_r$ um $0$. Nimm dann irgendeine andere offene Teilmenge von $\C\backslash\{0\}$, die $\dot U_r$ nicht schneidet, und vergleiche deren Bild unter $f$ mit dem Bild von $\dot U_r$.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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nitram999
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-24
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Danke für die schnelle Antwort!
D.h. angenommen z=0 wäre eine wesentliche Singularität von f.
Wenn man nun z.B. die punktierte offene Einheitskreisscheibe nimmt und deren Bild unter f betrachtet, dann ist dieses ja nach Casorati-Weierstraß dicht in \IC. Das heißt, dass der Abschluss dieses Bildes ganz \IC ist und somit schon jeder Punkt erreicht wird.
Nehme nun eine Kreisscheibe um z.B. 5 mit Radius 1. Für eine Zahl c aus dieser Kreisscheibe sei f(c)=d mit c,d \el\ \IC.
Dann ex. aber auch ein z in der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe mit f(z)=d.
Da z != c gilt, liefert das einen Widerspruch zur Injektivität.
Daher kann z=0 keine wesentliche Singularität sein.
Stimmt das so?
LG nitram999
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nitram999
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-24
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Ich hab gerade noch ein Problem wenn ich genauer drüber nachdenke. Und zwar sagt mir die Dichtheit aus Casorati-Weierstraß ja nur, dass das Bild an jeden Punkt in C beliebig nah rankommt, aber nicht dass man jeden Punkt auch trifft, oder?
Dann würde man den Widerspruch mit der Injektivität nicht hinkriegen...
Danke schon mal für die Hilfe :)
LG nitram999
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Vercassivelaunos
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-25
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Ja, nur aus der Dichtheit kannst du nicht ableiten, dass ein bestimmter Wert tatsächlich angenommen wird. Aber du kannst dir zumindest sicher sein, dass keine offene Menge vollständig ausgelassen wird: Der Schnitt einer offenen mit einer dichten Teilmenge von $\C$ ist nichtleer.\(\endgroup\)
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nitram999
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-25
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Ah okay danke :) Gibt es da einen Satz oder ein Argument, dass dies veranschaulicht?
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Vercassivelaunos
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| Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-25
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Das ist (fast) die Definition der Dichtheit. Eine Teilmenge $D\subseteq\C$ heißt dicht, wenn $\overline D=\C$. Das heißt, dass jede offene Umgebung eines Elements von $\C$ (also einfach jede offene Menge) auch mindestens ein Element von $D$ enthält.\(\endgroup\)
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