| Autor |
  holomorphe Funktion konstant |
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nitram999
Aktiv 
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Wohnort: Würzburg
 |  Themenstart: 2020-07-24
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Hallo,
Warum ist jede holomorphe Funktion
f: \IC \\{0} -> D konstant?
(D ist die offene Einheitskreisscheibe)
Danke schon mal!
LG nitram999
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Nuramon
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| Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,
kannst du zeigen, dass jede holomorphe Funktion $\IC\to D$ konstant ist?
Kannst du deine Behauptung auf diesen Fall zurückführen?\(\endgroup\)
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nitram999
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-24
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Hallo Nuramon,
Ja in diesem Fall wäre f ja eine ganze Funktion und da diese beschränkt ist nach Voraussetzung ist f nach Liouville konstant.
Aber wie kann man die Behauptung auf diesen Fall zurückführen? Dann müsste f ja in 0 hebbar sein oder?
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Nuramon
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-24
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Genau. Kennst du einen Satz, der eine Aussage über hebbare Singularitäten macht? Einen Hebbarkeitssatz sozusagen? 🙂
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nitram999
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-24
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Ach stimmt, da wir lokal um 0 beschränkt sind ist der Riemannsche Hebbarkeitssatz anwendbar, wodurch 0 eine hebbare Singularität ist und f dann eine ganze Funktion ist.
Danke!
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nitram999
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09
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Ich habe hierzu noch eine Frage:
Mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz weiß man ja, dass f eine ganze Funktion ist. Um nun zu zeigen, dass f konstant ist, ist es wichtig, dass die Funktion f beschränkt ist.
Woher weiß man, dass das Bild f(0), der hebbaren Singularität, auch im Einheitsreis liegen muss?
Aus Stetigkeitsgründen kann f(0) ja nicht im Unendlichen liegen, könnte aber beispielsweise auf dem Rand des Einheitskreises liegen. Stimmt das?
Viele Grüße und Danke im Voraus!
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sonnenschein96
Senior
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-09
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Hallo nitram999,
\quoteon(2021-10-09 19:18 - nitram999 in Beitrag No. 5)
Aus Stetigkeitsgründen kann f(0) ja nicht im Unendlichen liegen, könnte aber beispielsweise auf dem Rand des Einheitskreises liegen. Stimmt das?
\quoteoff
Auch aus \(f(\mathbb{C})\subseteq\overline{\mathbb{D}}\) kannst Du mit dem Satz von Liouville darauf schließen, dass \(f\) auf \(\mathbb{C}\) und damit auch auf \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\) konstant sein muss. Diese Konstante liegt dann natürlich in \(\mathbb{D}\).
Aber auch ohne den Satz von Liouville kannst Dir leicht überlegen, dass schon \(f(\mathbb{C})\subseteq\mathbb{D}\) gelten muss, da auch wenn \(f\) nicht konstant wäre, \(f(\mathbb{C})\) nach dem Satz über die offene Abbildung offen sein müsste.
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nitram999
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09
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Du hast natürlich recht, danke!
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