Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Stern-Gerlach-Versuch, klassische Erwartung (und UFO Quiz)
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Stern-Gerlach-Versuch, klassische Erwartung (und UFO Quiz)
Baerchn
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 01.01.2020
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-28


Kurze Frage, warum wird beim Stern-Gerlach-Versuch klassisch eigentlich eine Gleichverteilung erwartet? Wenn der Spinvektor zufällig in jede Richtung zeigen könnte, wäre es doch viel wahrscheinlicher, dass er ungefähr in der Äquatorebene liegt als senkrecht dazu, und man müsste doch eigentlich eine Art Gaußverteilung erwarten, also in der Mitte viel mehr als an den Rändern?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1405
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-28


2020-07-28 11:29 - Baerchn im Themenstart schreibt:
Wenn der Spinvektor zufällig in jede Richtung zeigen könnte, wäre es doch viel wahrscheinlicher, dass er ungefähr in der Äquatorebene liegt als senkrecht dazu, und man müsste doch eigentlich eine Art Gaußverteilung erwarten, also in der Mitte viel mehr als an den Rändern?

Nein: Für einen auf der Einheitssphäre gleichverteilten Vektor ergibt sich als Erwartungswert einer Funktion der $z$-Komponente $\hat z$$$ \langle f(\hat z)\rangle =
\frac1{4\pi}\int_0^\pi\int_0^{2\pi}f(\cos\theta)\,
  \sin\theta\,d\varphi\,d\theta =
\frac12\int_{-1}^1f(\hat z)\,d\hat z \;.
$$Also ist $\hat z$ auf dem Intervall $[-1,1]$ gleichverteilt.

--zippy



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Baerchn
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 01.01.2020
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-28


danke, verstehe das Argument leider nicht ganz, f(z) wäre hier doch einfach z? Und der Erwartungswert ist in jedem Fall Null, wenn am Äquator Null ist, sowohl bei Gleichverteilung als auch bei Normalverteilung.
Worauf ich hinauswill ist in der angehängten Grafik, dass ein roter Spin mit \(z \approx 0\) doch viel wahrscheinlicher ist als ein blauer Spin mit \(z \approx +1\). Und warum die Verteilung dann nicht aussieht wie beim Fragezeichen?




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1405
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-28


2020-07-28 19:37 - Baerchn in Beitrag No. 2 schreibt:
danke, verstehe das Argument leider nicht ganz, f(z) wäre hier doch einfach z?

Nein, wir wollen doch die Wahrscheinlichkeitdichte $w(\hat z)$ von $\hat z$ ausrechnen. Und das kann man tun, indem man den Erwartungswert einer beliebigen Funktion $f(\hat z)$ berechnet, denn man weiß ja, dass sich dieser Erwartungswert in der Form $\langle f(\hat z)\rangle =
\int f(\hat z)\,w(\hat z)\,d\hat z$ schreiben lassen muss.

2020-07-28 19:37 - Baerchn in Beitrag No. 2 schreibt:
Worauf ich hinauswill ist in der angehängten Grafik, dass ein roter Spin mit \(z \approx 0\) doch viel wahrscheinlicher ist als ein blauer Spin mit \(z \approx +1\).

Wenn du graphisch auf die Verteilung von $\hat z$ kommen willst, musst du auf der Einheitssphäre die Flächen skizzieren, die auf Intervalle $\bigl[\hat z-\frac\delta2,\hat z+\frac\delta2\bigr]$ abgebildet werden und dann deren Größen vergleichen.

Beispielsweise ergibt sich für $\bigl[0-\frac\delta2,0+\frac\delta2\bigr]$ ein Streifen mit einer Breite $\approx\delta$ um den Äquator und für $\bigl[1-\delta,1]$ ein Kugelsegment der Höhe $\delta$. Und diese Flächen haben beide eine Größe $\approx2\pi\delta$.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Baerchn
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 01.01.2020
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-28


achso die Mantelfläche einer Kugelschicht ist immer \(2\pi rh\) unabhängig davon, wo man die Schicht rausschneidet, darauf läuft das ganze einfach hinaus. Das war mir so explizit tatsächlich noch nicht klar.

Und die Wahrscheinlichkeitsdichte ist eine konstante Funktion, ich denke das Argument habe ich jetzt auch verstanden.

Okay vielen Dank, dann hat sich das Thema geklärt 👍



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Spock
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8073
Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-29


Hallo an Alle, die es interessiert!

Auch wenn die eigentliche Fragen von Baerchn geklärt sind, in diesem Zusammenhang noch ein kleines Quiz bzw. eine bei "fortgeschrittenen" mündlichen Quantenmechanik-Prüfungen eine gern gestellte Frage:

Dazu zunächst ein "verbessertes Bildchen", das Bild oben im Themenstart trifft die Sache nicht ganz:



Jetzt die (Quiz-)Frage: Warum sieht die Kontour des Meßergebnisses auf dem Schirm (klassisch und quantenmechanisch) so aus wie ein UFO?

:-)

Grüße
Juergen





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
funmitphysik
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.01.2018
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-04


spannende Frage :-).
Kannst Du Tips geben oder einen kurzen Artikel schreiben ?
Ich versuche ins Unreine zu denken, gern korrigieren wenn Unfug

Quantenmechanisch ist das Dichtematrix mit statistischem Gemisch und 50% Wahrscheinlichkeit für jeden der beiden Spins.
Das bedeutet -wenn ich korrekt liege- mindestens dass der Umriss klassisch und quantenmechanisch gleich sein muss.
-schnelle Atome werden durch den Gradienten des Magnetfeldes weniger abgelenkt, als langsame
-die Atome unterliegen einer thermischen Maxwell Geschwindigkeitsverteilung
->vermutlich führt das zu so etwas wie einer reziproken Maxwell Verteilung beim Fleck
-der Ursprung der Teilchen im Ofen geht als geometrischer Einfluß in die Verteilung ein ~vdv
-klassisch muss bei statistischer Spinverteilung das "Bild" komplett ausgefüllt sein,
  quantenmechanisch sieht man die Aufspaltung

aber so richtig habe ich damit die 2 halben Ufos (Symmetrie) nicht erklärt





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spock
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8073
Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-04


Hallo funmitphysik,

die Quizfrage bezieht sich nicht so sehr auf die Aufspaltung, die Quantenmechanik ist damit zufrieden, daß der Strahl in Richtung des Magnetfeldgradienten in zwei Teilstrahlen aufgespalten wird. Mir geht es um die Kontour, das im Themenstart gezeigte Bild (c) ist nicht das, was man tatsächlich mißt, daher das verbesserte Bild in Beitrag No.5.

Hier noch ein Bildchen der Ergebnisse der Originalmessungen von Stern/Gerlach, entnommen aus ihrem Artikel "Über die Richtungsquantelung im Magnetfeld", erschienen in Annalen der Physik Vierte Folge Band 74, 1924





Ein kleiner Tipp: Die Ursache für die UFO-Kontour hat nichts mit Quantenmechanik zu tun, :-)

Grüße
Juergen




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
funmitphysik
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.01.2018
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-08-04


wenn das "Ufo" nur beim Originalversuch zu sehen war, dann würde ich mit Schmunzeln Tippen,
dasss dass ein "Abbild" des Mundes beim Ausathmen des berühmt berüchtigten Zigarrenrauches war.
Es fällt auf, dass man bei modernen Bildern mit Detektor eher Kreise sieht.

Für Abbildungsfehler/Beugung  Spalt + "Magneten" aka "Instumentenfunktion fehlen mir vernünftige Argumente :-)

Gibts noch einen Tip?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spock
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8073
Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-05


Gut, noch ein Tipp:
Denke an die Maxwell-Gleichungen der Klassischen Elektrodynamik, insbesondere die, die Magnetfelder enthalten, :-)
Grüße
Juergen



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
funmitphysik
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.01.2018
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-08-05


fed-Code einblenden
Die Inhomogenität des Feldes nimmt in y-Richtung mit zunehmendem Abstand zur Symmetrie_Achse, (Symmetrieachse da wo die "Schneide" des Magneten ist) nach aussen ab.
D.i. je größer der seitliche (y-Achse) Abstand von der Symmetrieachse, desto kleiner die ablenkende Kraft bis aussen das Magnetfeld "genähert" homogen wird und die Ablenkung damit Null wird.
Das führt zur Form des "Ufo".

 danke für die ausgesprochen lehrreiche / interessante Frage 😃😃😃, man guckt die Zeichnungen in den Büchern viel zu oft an, ohne zu hinterfragen. Auf den Punkt geht keine der Beschreibungen des SG Effektes ein,die ich auf die schnelle angeguckt habe. Lustigerweise zeichnen manche das Ufo auch kommentarlos in der Schemazeichnung und genauso viele nur die Aufspaltung an der Symmetrie-Achse als zwei Punkt.

Als Sahnehäubechen werte ich das listige  "in fortgeschrittenen Quantenmechanik-Prüfungen";
ich hätte die Wortwahl exakter beachten sollen 😃, und die Fairness, in Deinen Tips dann doch der Versuchung zu widerstehen die Fährte noch auszubauen. Die Tips haben dann doch den Nebel in meinem Geist gelichtet, hoffe ich.

Etwas ernsthafter:

Dann dürfte man auch das Ufo in modernen Praktikumsversuchen, die mit einer anderen Form der Polschuhe (Zweidrahtfeld) arbeiten nicht bzw nur als Fleck sehen, weil die Inhomogenität des Feldes in einer Ebene nahezu konstand bleibt ?

Zusatzfrage, falls Du Nerv hast: Man nähert oft   fed-Code einblenden
Im inhomogenen Feld können die Feldlinien nicht parallel zur z-Achse laufen, also muss es auch eine ablenkende Kraft in y-Richtung geben. Falls die Ufo Form tatsächlich vom abnehmenden Feldgradienten in y-Richtung verursacht wird, dürfte diese Querablenkung doch auch nicht ganz vernachlässigbar sein, auch wenn man den Strahldurchmesser als klein annimmt ?


dankeschön
Michael



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]