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 Äquivalenz Injektivität und Linksinverse |
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kreativerName
Junior 
Dabei seit: 12.05.2020
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2020-07-29
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Hallo,
in Vorbereitung auf eine anstehende Klausur bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:
Sei \(K\) ein Körper, \(M\in K^{m×n}\)
eine Matrix und \(f : K^n → K^m\) die durch \(M\) bestimmte lineare
Abbildung. Eine Matrix \(L ∈ K^{n×m}\) heißt Linksinverse zu M, wenn \(L · M = I_n\) gilt.
Zeigen Sie:
\(M\) besitzt genau dann eine Linksinverse, wenn f injektiv ist.
Die "=>" Richtung ist mir klar. Für die Rückrichtung habe ich eine umständliche Lösung gefunden. Bin jedoch über folgende vermeintlich einfachere Lösung gestolpert:
Sei f injektiv. Dann ist Ker(f)={0} und nach dem Rangsatz rang(M)=n. Damit sind die Spalten \(m_i\) von M linear unabhängig. (Soweit ist mir alles klar. Nun wird jedoch folgendes direkt gefolgert)
Damit gibt es ein \(G\in K^{n×m}\) mit \(Gm_i=e_i\). Für dieses gilt \(GM=I_n\)
Ich verstehe die letzte Folgerung nicht. Vielleicht kann mir ja jemand helfen ;)
Vielen Dank im Voraus
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5016
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-29
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\quoteon(2020-07-29 15:53 - kreativerName im Themenstart)
Ich verstehe die letzte Folgerung nicht.
\quoteoff
Du meinst wirklich die letzte Folgerung (im Folgenden rot markiert)?
\quoteon(2020-07-29 15:53 - kreativerName im Themenstart)
Damit gibt es ein \(G\in K^{n×m}\) mit \(Gm_i=e_i\). Für dieses gilt \(GM=I_n\)
\quoteoff
Die ergibt sich aus $M=(m_1,\ldots,m_n)$ und $GM=(Gm_1,\ldots,Gm_n)=(e_1,\ldots,e_n)=I_n$.
Falls es aber um die vorletzte Folgerung gehen sollte...
\quoteon(2020-07-29 15:53 - kreativerName im Themenstart)
Damit gibt es ein \(G\in K^{n×m}\) mit \(Gm_i=e_i\). Für dieses gilt \(GM=I_n\)
\quoteoff
...da wird ausgenutzt, dass man für eine linear unabhängige Teilmenge $U$ eines Vektorraums $V$ eine beliebige Abbildung von $U$ in einen Vektorraum $W$ immer zu einer linearen Abbildung von $V$ nach $W$ fortsetzen kann.
--zippy
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,
ergänze die $m_i$ zu einer Basis von $K^m$. Zu jeder Zuordnung einer Basis zu beliebig vorgegeben Werten, gibt es genau eine lineare Fortsetzung. Insbesondere gibt es also eine Abbildung $G$ mit $Gm_i=e_i$.
Die Gleichung $GM=I_n$ kannst du überprüfen, indem du sie auf der Standardbasis nachrechnest.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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kreativerName
Junior 
Dabei seit: 12.05.2020
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-01
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Verstehe ich richtig, dass die Matrix G dann nicht eindeutig ist, sondern nur in den ersten n Spalten festgelegt?
Dort stehen ja die Bilder der Basisvektoren \(m_1, ..., m_n\)?
Das ist ja dann eine darstellende Matrix von G bezüglich der Basis \(B= {m_1,...,m_n,b_1,...,b_{m-n}}\)oder?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5016
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-01
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\quoteon(2020-08-01 15:41 - kreativerName in Beitrag No. 3)
Verstehe ich richtig, dass die Matrix G dann nicht eindeutig ist, sondern nur in den ersten n Spalten festgelegt?
\quoteoff
$G$ ist im Allgemeinen (d.h. wenn nicht gerade $n=m$ ist) nicht eindeutig festgelegt.
Aber wie kommst du darauf, dass diese Nichteindeutigkeit nur bestimmte Spalten von $G$ betrifft? Du musst dir doch nur einfachste Beispiel anschauen, um das Gegenteil vor Augen geführt zu bekommen:$$n=1,\;m=2,\;
M=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\;
G=\begin{pmatrix}1-x&x\end{pmatrix}\hbox{ mit }x\in K\hbox{ beliebig}$$
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Triceratops
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-04
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Die Aufgabenstellung ist kurios. Matrizen verblenden hier, worum es geht.
Sei $f : V \to W$ eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen (sie müssen nicht unbedingt endlich-dimensional sein). Genau dann ist $f$ injektiv, wenn $f$ eine Linksinverse besitzt (also ein $g : W \to V$ existiert mit $g \circ f = \mathrm{id}_V$).
Die Richtung $\Leftarrow$ ist leicht, denn allgemein gilt: $g \circ f$ injektiv $\implies$ $f$ injektiv. Die interessantere Richtung ist $\Rightarrow$.
Sei also $f : V \to W$ injektiv. Sei $B$ das Bild von $f$. Dann schreiben wir $f$ als Komposition
$V \xrightarrow{\cong} B \hookrightarrow W,$
wobei die erste Abbildung ein Isomorphismus und $B \hookrightarrow W$ einfach die Inklusion ist. Das Problem ist aber für Isomorphismen trivial. Man kann sich daher auf den Fall beschränken, dass $f : V \to W$ einfach die Inklusion eines Unterraumes $V \subseteq W$ ist.
Dann weiß man aber, dass es ein Komplement $V' \subseteq W$ gibt, also $W = V \oplus V'$ gilt. Nun gibt es (genau) eine sehr ins Auge fallende lineare Abbildung $g : W \to V$, und die leistet auch das Gewünschte, also $g \circ f = \mathrm{id}_V$.
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kreativerName
Junior
Dabei seit: 12.05.2020
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04
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Vielen Dank für die Hilfe!
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