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Universität/Hochschule J Teilraumtopologie und Inklusionsabbildung
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-03


Guten Nachmittag zusammen

Ich beschäftige mich gerade mit der Teilraumtopologie und versuche gerade folgenden Beweis zu verstehen. Wir haben $X$ ein topologischer Raum und $M \subset X$ eine Teilmenge. Nun wollen wir zeigen, wenn $i_M \circ f$ stetig ist, so ist $f$ stetig. Nun dazu definieren wir $W=M \cap U \in \mathcal{O}_M$ und erhalten: $f^{-1}(W)=f^{-1}(M) \cap (i_M \circ f)^{-1}(U)$
Ich bin hier schon verloren, weshalb gilt diese Umformung? Wie haben wir die Inklusionsabbildung ins Spiel gebracht und weshalb dürfen wir die Vereinigung auf diese Weise trennen?

Vielen Dank für eure Hilfe und einen guten Start in den Feierabend
Math_user



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Asrael
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-03


Hi!

Kannst du noch schreiben, zwischen welchen Mengen f abbildet?



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-03


Sicher tut mir leid. Wir haben, dass $f: Y \to M$ und wir haben, dass $i_M: M \to X, \, i_M(x)=x \; \forall x \in M$.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-03


1) Wie lässt sich $f^{-1}(A \cap B)$ für Mengen $A,B$ schreiben?
2) Was ist der Zusammenhang zwischen $i_M \circ f$ und $f$?


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-03


Vielen Dank Kezer, nur bei $f(A \cap B)$ muss injektiv Vorausgesetzt werden damit wir es "separieren" können. In diesem Fall können wir also $f^{-1}(A \cap B)=f^{-1}(A)\, \cap f^{-1} (B)$ schreiben. Nun was ist der Zusammenhang zwischen $i_M \circ f$ und $f$, würde ich sagen dass wenn $A \subseteq M$ haben so ist $(i_M \circ f)(A)=f(A)$ aber ich sehe nicht wie da mein $U$ mitspielen soll.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-03


Hallo,

du möchtest zeigen, dass $f$ eine stetige Abbildung ist, unter der Voraussetzung, dass $i_M\circ f$ stetig ist.

Eine Abbildung ist stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen offen sind.

$f: Y\to M$.

Sei also $W\subseteq M$ offen. Da $M$ die (von $X$ induzierte ) Teilraumtopologie trägt ist $W=U\cap M$ für eine offene Menge $U\subseteq X$.

Nun ist $f^{-1}(W)=f^{-1}(U\cap M)\stackrel{!}{=}f^{-1}(U)\cap f^{-1}(M)$

[
Allgemein gilt die (wichtige) Gleichheit $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$. Dies gilt auch für die Vereinigung etc.

Der einfache Beweis sei dir überlassen.
Weitere Übungen:

Zeige für eine Funktion $f: X\to Y$ und $A,B\subseteq X$ und $U,V\subseteq Y$ folgende Mengengleichheiten (Edit: Gegebenenfalls unter geeigneten Voraussetzungen... :P):

$f(X\setminus A)=Y\setminus f(A)$

$f^{-1}(Y\setminus U)=X\setminus f^{-1}(U)$

$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$

$f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$

$f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)$

$f^{-1}(U\cup V)=f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$.

Es reicht wenn du dir ein paar dieser Aussagen auswählst, und die Erkenntnis erlangst, dass die Beweise (a) leicht sind, und (b) eigentlich immer gleich ablaufen. Also wenn du eine dieser Aussagen verifizieren kannst, dann kannst du auch alle andere beweisen.

Die Beweise lassen sich nach der hier angesprochenen Methode führen:



]

Weiter im Text:

Wir haben also $f^{-1}(W)=f^{-1}(M)\cap f^{-1}(U)$.

Es ist $f^{-1}(M)=Y$ (Warum?)

Außerdem gilt $f=i_M\circ f$. Denn

$i_M(f(y))=f(y)$ für alle $y\in Y$. [f(y) ist ja nun ein Element aus $M$, und die Funktion $i_M$ fixiert alle Elemente aus $M$, wegen $i_M(\color{red}{x})=\color{red}{x}$. Deshalb gilt auch $i_M(\color{red}{f(y)})=\color{red}{f(y)}$]

Insgesamt erhalten wir also:

$f^{-1}(W)=Y\cap (i_M\circ f)^{-1}(U)=Y\cap f^{-1}(i_M^{-1}(U))$

[Hier wirde benutzt, dass ($i_M\circ f)^{-1}(U)=f^{-1}\circ i_M^{-1}(U)$ gilt. Ist dir diese Gleichheit nicht klar, so ist der einfache Beweis dir überlassen.]

Es ist $i_M^{-1}(U)=U$. (Warum?)

Und $f^{-1}(U)$ eine offene Menge (in $Y$), weil wir ja den Zusammenhang mit $i_M$ haben, und wir wissen, dass $i_M\circ f$ eine stetige Abbildung ist. Deshalb sind Urbilder offener Mengen wieder offene Mengen. (Edit: Falsche Formulierung verbessert...)

Also $f^{-1}(W)=Y\cap f^{-1}(U)$ offen. Warum genau?


Der Beweis sieht jetzt sehr lang aus, weil ich sehr ausführlich war (und hoffentlich deshalb keinen Fehler gemacht habe).
Die im Text eingestreuten Übungsaufgaben sollten dir entweder klar sein, oder die Beweise leicht von der Hand gehen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-03


2020-08-03 17:52 - Math_user in Beitrag No. 4 schreibt:
Vielen Dank Kezer, nur bei $f(A \cap B)$ muss injektiv Vorausgesetzt werden damit wir es "separieren" können. In diesem Fall können wir also $f^{-1}(A \cap B)=f^{-1}(A)\, \cap f^{-1} (B)$ schreiben.

Es geht um $f^{-1}(A \cap B)$, nicht $f(A \cap B)$. Und $f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$ gilt immer.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-03


Der Beweis geht viel einfacher.

$\begin{align*} & i_M \circ f : Y \longrightarrow X \text{ ist stetig} \\
\iff & \text{für alle offenen } U \subseteq X \text{ ist } (i_M \circ f)^{-1}(U)  \subseteq  Y \text{ offen} \\
\iff & \text{für alle offenen } U \subseteq X \text{ ist } f^{-1}(i_M^{-1}(U))  \subseteq Y \text{offen} \\
\iff & \text{für alle offenen } U \subseteq X \text{ ist } f^{-1}(U \cap M)  \subseteq Y \text{offen}\\
\iff & \text{für alle offenen } V \subseteq M \text{ ist } f^{-1}(V)  \subseteq Y \text{offen}\\
\iff & f : Y \longrightarrow M \text{ ist stetig}
\end{align*}$

Das vorletzte $\iff$ ist einfach die Definition der Teilraumtopologie, die restlichen $\iff$ sind trivial.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-03


Vielen Dank für all eure Inputs, vor allem PrinzessinEinhorn für deine Ausführliche Antwort. Ich sah einfach nicht, weshalb $(i_M \circ f)=f$ ist - verstehe es nun. Aber ich scheitere noch an: $i_M^{-1}(U)=U$ ich komme auf $i_M^{-1}(U)=U \cap M$...
Edit: Wir können es doch einfacher machen: $f^{-1} (W)= Y \cap (i_M \circ f)^{-1}(U)$. Nun ist $(i_M \circ f)$ stetig und somit folgt weil $U \in \mathcal{O}_X$ ist, dass $(i_M \circ f)^{-1}(U) \in \mathcal{O}_Y$. Damit folgt aber weil $Y \in \mathcal{O}_Y$ ist per Definition, dass der Schnitt $ f^{-1} (W)= Y \cap (i_M \circ f)^{-1}(U) \in \mathcal{O}_Y$ ist und somit ist $f$ stetig.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-03


2020-08-03 18:46 - Math_user in Beitrag No. 8 schreibt:
ich scheitere noch an: $i_M^{-1}(U)=U$ ich komme auf $i_M^{-1}(U)=U \cap M$...

Damit hast du auch recht. Da war ich nicht aufmerksam. Tut mir leid.






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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04


Vielen Dank nochmals an allen Beteiligten und speziell an PrinzessinEinhorn für deine sehr schöne und ausführliche Antwort! Startet gut in den Tag 😃



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