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Mathematik » Analysis » Transformationssatz für Gebietsintegrale
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Universität/Hochschule Transformationssatz für Gebietsintegrale
siacs
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-03


Sei \(n\in \mathrm{N}\) und \(\Gamma\) eine Kurve im \(\mathbb{R}^2\) mit der Parametrisierung
\(\gamma: \begin{cases} \sin(n\phi)\begin{pmatrix}\cos(\phi)\\
                                       \sin(\phi)
                                    \end{pmatrix}\\
                           [0:\frac{\pi}{n}]\rightarrow \mathbb{R}^2
           \end{cases} \)

Ziel ist es den Flächeninhalt des eingeschlossenen Gebiets \(D\) zu berechnen.

1) Idee: Greensche Formel

\(|D| = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/n} \gamma_1(t)\dot\gamma_2(t) - \gamma_2(t)\dot\gamma_1(t) \mathrm{d}t = \dots = \frac{\pi}{4n}\)

2) Jetzt ist in dieser alten Übungsklausur die eigentliche Aufgabe das ganze über den Transformationssatz für Gebietsintegrale zu berechnen.

Im Grunde ist das gegebene Gebiet ein für \(n=1\) ein Kreis, der mit größer werdenden \(n\) immer weiter zur Keule zusammengedrückt wird und Richtung positive \(x\)-Achse im 1. Quadranten wandert.
Die gegebene Parametrisierung ist ja nichts anderes als Polarkoordinaten, wobei der Radius \(r = r(\phi)\) vom Winkel abhängig ist.

Leider ist mir nicht klar, in welche Richtung die Transformation gehen soll, um über ein potentiell einfacheres Gebiet zu integrieren.


Vielleicht hat jemand eine Idee, mit ich weiter arbeiten könnte?

Danke!



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siacs
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-03


Vielleicht ist die Idee verallgemeinerte Polarkoordinaten einzuführen?

\(\Phi(r,t) = \begin{pmatrix}r \sin(n\phi)\cos(\phi) \\ r \sin(n\phi)\cos(\phi) \end{pmatrix}\)
\(\Phi : [0,1] \times [0,\frac{\pi}{n}] \rightarrow \mathbb{R}^2\)

Dann wäre die Funktionaldeterminante
\(||\det D\Phi|| = r\sin^2(n\phi)\)

und damit das Gebietsintegral

\(|D| = \int_0^1 \int_0^{\pi/4} 1\cdot ||\det D\Phi|| \mathrm{d}\phi \mathrm{d}r  = \frac{\pi}{4n}\)




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