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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Gruppenhomo von SU(2) nach O(3)
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Universität/Hochschule Gruppenhomo von SU(2) nach O(3)
Georgonzola
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-03


Hi,

bei der Aufgabe, die mir momentan Kopfschmerzen bereitet, geht es um die universelle Überlagerung von SO(3).
Hierfür soll ich (u.a.) den reellen VR L aller komplexen 2x2-Matrizen mit A*=-A und Spur(A)=0 betrachten.
\(\langle A,B \rangle = \text{Spur} AB^*\) ist hier ein Skalarprodukt auf L und die SU(2)-Operation \( A\mapsto gAg^{-1} \) für \(g\in\)SU(2) erhält dieses.
Auch kann ich (nach Wahl einer Orthonormalbasis) L mit R^3 identifizieren.
Aber wie definiert mir das einen stetigen Gruppenhomomorphismus p:SU(2)\(\to\)O(3).
Ich bin sehr verwirrt und freue mich über jede Antwort!

Gruß

PS: Es geht zwar eigentlich um universelle Überlagerungen, aber da das hier nur Lineare Algebra ist, habe ich es mal dieser Kategorie zugeordnet.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-03


Hi. Eine Wirkung von $G$ auf einem reellen Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt (womit insbesondere gemeint ist, dass die Wirkung das Skalarprodukt erhält) ist ein Gruppenhomomorphismus $\rho : G \to O(V)$, wobei $O(V) = \{g \in \mathrm{GL}(V),\, g \text{ erhält Skalarprodukt}\}$. In deinem Beispiel ist $G=SU(2) \subseteq \mathrm{GL}_2(\IC) $, $V=L = \{A \in M_2(\IC) : A^* = -A, \, \mathrm{Spur}(A)=0\}$1 mit Skalarprodukt $\langle A,B \rangle = \mathrm{Spur}(A B^*)$ und $\rho(g)(A) = g A g^{-1}$. Man muss sich klarmachen, dass $\rho(g)(A)$ tatsächlich in $V$ liegt, dass $\rho(g) : V \to V$ das Skalarprodukt erhält, und außerdem $\rho(g) \circ \rho(h) = \rho(g \cdot h)$. Die Stetigkeit von $\rho$ kann in jedem Matrixeintrag getestet werden und ergibt sich dann aus der Stetigkeit von Polynomen.

1Das ist übrigens die Liealgebra $\mathfrak{su}(2)$ von $SU(2)$.



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