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Mathematik » Stochastik und Statistik » Umformung mit der Poisson-Verteilung
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Universität/Hochschule J Umformung mit der Poisson-Verteilung
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-04


Guten Abend zusammen

Ich verstehe die folgende Umformung nicht: Sei $X \sim P(\lambda)$ und seien $(Y_n)$ Bernoulli iid verteilte mit Parameter $t \in (0,1)$. Wir definieren weiter \[ \tilde{X}= \sum \limits_{n=0}^X Y_n\]
Nun wollen wir zeigen, dass $\tilde{X}$ Bernoulli verteilt mit Parameter $t\lambda$. Für diese nehmen wir $n,m \geq 0$ und wenn wir über $m\geq 0$ aufsummieren erhalten wir:
\[\mathbb{P}(\tilde{X}=n)=\sum_{m\geq 0}\mathbb{P}(\tilde{X}=n \;\; \text{und}\;\; X-\tilde{X}=m)\]
Weshalb gilt aber dies? Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank und einen guten Abend
Freundliche Grüsse
Math_user



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-04


2020-08-04 18:36 - Math_user im Themenstart schreibt:
Weshalb gilt aber dies?

Die Mengen $\{X-\tilde X=m\}$ für $m=0,1,\ldots$ bilden wegen $X\ge\tilde X$ eine Zerlegung von $\Omega$.

Damit bilden die Mengen $\{\tilde X=n\}\cap\{X-\tilde X=m\}$ eine Zerlegung von $\{\tilde X=n\}$ und so kommt die $\sigma$-Additivität von $P$ ins Spiel.

--zippy



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-04


Ui, dies ging ein wenig schnell. Kannst du diese bitte noch ein wenig mehr ausführen? Tut mir leid, blicke da noch nicht ganz durch...
Dumme Frage schonmal, weshalb gilt $X\geq \tilde{X}$?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-04


2020-08-04 19:02 - Math_user in Beitrag No. 2 schreibt:
Dumme Frage schonmal, weshalb gilt $X\geq \tilde{X}$?

Hier liegt meine Behauptung auch um 1 neben der Wirklichkeit: Es ist $\tilde X=\sum_{n=0}^X Y_n$ mit $Y_n\in\{0,1\}$. Also ist $\tilde X\le\sum_{n=0}^X1=X+1$ und somit $X\ge\tilde X-1$.

Wenn die Formeln im Themenstart stimmen, müsste also $m$ nicht bei $0$, sondern bei $-1$ starten.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-05


Die Formel müsste stimmen, es steht so in meinem Skript... Aber auch wenn es bei $-1$ starten würde verstehe immer noch nicht das Argument mit der Zerlegung von $\Omega$...



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-05


2020-08-05 08:10 - Math_user in Beitrag No. 4 schreibt:
Aber auch wenn es bei $-1$ starten würde verstehe immer noch nicht das Argument mit der Zerlegung von $\Omega$...

Für jede diskrete Zufallsvariable $Z$ bilden die Mengen $\{Z=z\}$ eine Zerlegung von $\Omega$, und hier ist $Z=X-\tilde X$.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-05


2020-08-05 09:57 - zippy in Beitrag No. 5 schreibt:
Für jede diskrete Zufallsvariable $Z$ bilden die Mengen $\{Z=z\}$ eine Zerlegung von $\Omega$

Tut mir leid Frage ich so doof nach, aber dies gilt weil mit $\{Z=z\}$ wir jede Möglichkeit der Zufallsvariable durchgemacht haben und somit ist die Vereinigung eine Zerlegung von $\Omega$?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-05


2020-08-05 10:13 - Math_user in Beitrag No. 6 schreibt:
aber dies gilt weil mit $\{Z=z\}$ wir jede Möglichkeit der Zufallsvariable durchgemacht haben und somit ist die Vereinigung eine Zerlegung von $\Omega$?

Richtig (und natürlich, weil die Mengen offensichtlich disjunkt sind).



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-05


Schon einen Schritt weiter im Verständnis :) Nun haben wir, dass $X$ eine diskrete Zufallsvariabel und $\tilde{X}$ auch und somit ist die Differenz wieder eine diskrete Zufallsvariabel. Daraus folgt mit dem was wir schon besprochen habe, dass $\{X-\tilde{X}=m\}$ eine Zerlegung von $\Omega$ ist. Da nun weiter $\{\tilde{X}=n\} \subset \Omega$ ist, folgt dass die Menge $\{\tilde X=n\}\cap\{X-\tilde X=m\}$ eine Zerlegung von $\{\tilde X=n\}$ ist. Nun verstehe ich nicht dein letztes Argument und weshalb mich dass meinem Ziel näher bringt...
2020-08-04 18:53 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
so kommt die $\sigma$-Additivität von $P$ ins Spiel.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-05


2020-08-05 10:44 - Math_user in Beitrag No. 8 schreibt:
Nun verstehe ich nicht dein letztes Argument und weshalb mich dass meinem Ziel näher bringt...

Aus "$\{\tilde X=n\}\cap\{X-\tilde X=m\}$ ist eine Zerlegung von $\{\tilde X=n\}$" folgt wegen der $\sigma$-Additivität$$ P(\tilde X=n) = \sum_m P(\tilde X=n,X-\tilde X=m) \;.$$



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Math_user
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2020-08-05 17:11 - zippy in Beitrag No. 9 schreibt:
2020-08-05 10:44 - Math_user in Beitrag No. 8 schreibt:
Nun verstehe ich nicht dein letztes Argument und weshalb mich dass meinem Ziel näher bringt...

Aus "$\{\tilde X=n\}\cap\{X-\tilde X=m\}$ ist eine Zerlegung von $\{\tilde X=n\}$" folgt wegen der $\sigma$-Additivität$$ P(\tilde X=n) = \sum_m P(\tilde X=n,X-\tilde X=m) \;.$$
Ah dies ist gerade die $\sigma$-Additivität$. Bis ich dies verstanden habe -.-
Vielen vielen Dank Zippy für deine Mühe und Geduld. Endlich verstehe ich diesen Schritt!



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