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Strukturen und Algebra » Polynome » Addition von Polynomkoeffizienten
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Beruf Addition von Polynomkoeffizienten
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-05


Hallo Zusammen,

Ich habe verständnissschwierigkeiten bei der Addition von Polynomkoeffizienten.

Man definiert $A^{\mathbb{N}^n}$ als die Menge der Funktionen von $\mathbb{N}^n$ nach $A$, mit beschränktem Support.
Wobei $A$ ein kommutativer, integrer Ring ist.

Nun soll auf $A^{\mathbb{N}^n}$ eine Addition definiert werden.

$\forall ((a_{\underline{i}})_{i \in \mathbb{N}^n},(b_{\underline{i}})_{i \in \mathbb{N}^n})\in A^{\mathbb{N}^n} \times A^{\mathbb{N}^n}, \forall \underline{k}\in \mathbb{N}^n, (a+b)_{\underline{k}}=a_{\underline{k}}+b_{\underline{k}}$


Ich verstehe kein Wort. was $a_{\underline{i}}$ ist, dass kann ich ja noch einigermassen verstehen, aber $a$ und $b$ sind niergendwo definiert.
Mich überfordert das Ganze total




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-05


2020-08-05 19:38 - sulky im Themenstart schreibt:
aber $a$ und $b$ sind niergendwo definiert.

$\displaystyle a=(a_{\underline{i}})_{i \in \mathbb{N}^n}\,,\;
b=(b_{\underline{i}})_{i \in \mathbb{N}^n}$

--zippy



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-05


Hallo sulky,

a und b sind hier Funktionen von \(\IN^n\) nach A. Es gilt \(a(k)=a_k\) für alle \(k\in\IN^n\). Man schreibt dann \(a=(a(i))_{i\in\IN^n}=(a_i)_{i\in\IN^n}\). Entsprechend für b.

Man will jetzt die Summe von a und b definieren. Nennen wir die Summe c. Also c = a + b.

c ist dann wieder eine Funktion von \(\IN^n\) nach A. Man definiert \(c(k) = a(k)+b(k)\), oder \(c_k=(a+b)_k=a_k+b_k\).

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-06


Vielen Dank Strgaltentf und zippy,

Sorry es geht mir einfach zu schnell.

Wenn $(a_{\underline{i}})_{\underline{i} \in \mathbb{N}^n}$ ein Element aus $A^{\mathbb{N}^n}$ ist, aus welcher Menge kommt denn a?

kann man ein Beispiel machen eines solchen a und eines solchen b?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-06


2020-08-06 00:09 - sulky in Beitrag No. 3 schreibt:
Wenn $(a_{\underline{i}})_{\underline{i} \in \mathbb{N}^n}$ ein Element aus $A^{\mathbb{N}^n}$ ist, aus welcher Menge kommt denn a?

Diese Frage ergibt keinen Sinn. $(a_{\underline{i}})_{\underline{i} \in \mathbb{N}^n}$ und $a$ sind doch nur zwei unterschiedliche Schreibweisen für dasselbe Objekt:

2020-08-05 19:59 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
$\displaystyle a=(a_{\underline{i}})_{i \in \mathbb{N}^n}\,,\;
b=(b_{\underline{i}})_{i \in \mathbb{N}^n}$



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Lese $(a_{\underline{i}})_{\underline{i} \in \mathbb{N}^n}$ einfach als $a$. Erstere Notation ist in etwa analog zu $(x \in X) \mapsto f(x)$, was nur eine umständliche Angabe von $f$ ist. (Und das als Binder an einem Quantor zu benutzen ist eigentlich ganz übel.)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-06


Für die Frage ist $\IN^n$ irrelevant (die Multiindizes blähen auch unnötig die Notation auf) und kann irgendeine Menge $S$ sein. Außerdem ist hier nur die additive Struktur des Ringes relevant. Sei also $A$ einfach eine abelsche Gruppe. Dann wird auch das kartesische Produkt $\prod_{s \in S} A = A^S$, bestehend aus Funktionen $S \to A$, eine abelsche Gruppe. Man definiert die Addition komponentenweise: $(a+b)(s) := a(s) + b(s)$. Man hat weiterhin darin die Untergruppe $\bigoplus_{s \in S} A = A^{(S)}$ der Funktionen $S \to A$ mit endlichem Träger (es ist falsch, wie in der Aufgabenstellung diese auch mit $A^S$ zu bezeichnen). Dazu muss man sich nur klarmachen: $0$ hat endlichen Träger (der Träger ist sogar leer), und wenn $a,b$ endlichen Träger haben, dann haben auch $a \pm b$ endlichen Träger. Tatsächlich gilt aber $\mathrm{Trä}(a \pm b) \subseteq \mathrm{Trä}(a) \cup \mathrm{Trä}(b)$.

Soviel zur Addition auf $A^{(S)}$. Wenn $S$ ein Monoid ist und $A$ ein Ring ist, bekommt man auch eine Ringstruktur auf $A^{(S)}$, nämlich die Faltung:

$\displaystyle (a \cdot b)(s) := \sum_{\large u,v \in S, \, u \cdot v = s} a(u) \cdot b(v)$.
 
Man nennt diesen Ring dann den Monoidring $A[S]$. Es lohnt sich, diese einfache Konstruktion allgemein verstanden zu haben. Der Spezialfall des Polynomringes ist $S = \IN^n$ mit der Addition als Verknüpfung, ist aber nicht wirklich einfacher, sondern komplizierter, weil man hier die einfachen Einzelschritte nicht sieht.
 
Mehr dazu hier.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-07


entschuldigt bitte meine lange Leitung.


Also so wie Triceratops es nun vereinfacht hat, so kann ich es verstehen. Bisher hat mich verwirrt, dass das Symbol $"+"$ überdefininiert war.

wenn $a$ und $b$ Elemente von $S^A$ sind, dann sind $a(s)$ und $b(s)$ aus dem Bildbereich, also aus $A$.
Ringe enthalten immer (definitionsgemäss) eine Addition, ich nenne diese $+_A$ anstatt $+$. Somit ist der Ausdruck $a(s)+_A b(s)\in A$ lesbar.

Und aus dem Ausdruck $(a+b)(s):=a(s)+_A b(s)$ ist -wenn man um die Ecke denkt- auch der Ausdruck $(a+b)$ erklärt.

Hingegen verstehe ich aber die Definition in unserem Lehrmittel noch weniger als zu vor.

Wenn $a$ eine Mathematische Funktion ist und $s\in Def(a)$, dann ist der Ausdruck $a(s)$ ein Element von $Im(a)$. Dies gilt aber nicht für die indexschreibweise $a_s$ oder $(a)_s$.

Ich erkenne nicht weshalb $a_s$ ein Element von $A$ sein soll und daher ist die Anwendung von $+_A$ undefiniert.

Liege ich da falsch?

 



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-08-07


2020-08-07 12:00 - sulky in Beitrag No. 7 schreibt:
wenn $a$ und $b$ Elemente von $S^A$ sind, dann sind $a(s)$ und $b(s)$ aus dem Bildbereich, also aus $A$.

Du verwechselst $A^S$ und $S^A$.

2020-08-07 12:00 - sulky in Beitrag No. 7 schreibt:
Dies gilt aber nicht für die indexschreibweise $a_s$ oder $(a)_s$.

Du wirfst möglicherweise zwei Dinge durcheinander:
1. $a_s$ ist eine alternative Schreibweise für $a(s)$ und bezeichnet somit einen Funktionswert.
2. $(a_s)$ oder $(a_s)_{s\in S}$ ist eine alternative Schreibweise für $s\mapsto a(s)$ und bezeichnet somit die Funktion. Man kann also schreiben $a=(a_s)_{s\in S}$.

(Das hat dir tactac aber auch schon gestern erklärt.)



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