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Funktionenfolgen und -reihen » Fourierreihen » Fourieranalyse
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Universität/Hochschule Fourieranalyse
joja2020
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.08.2020
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-05


Hi,

ich beschäftige mich gerade mit der Fourieranalyse. Ich bin gerade an ner Aufgabe dran und bin mir nicht ganz sicher, ob das so stimmt. Vlt. kann mir ja einer von euch helfen.
Die Angabe ist ziemlich spärlich: f(x) = 0  -1 < x < 0
                                                f(x) = 1   0 < x < 1
                                                f(x+2) = f(x)

Meine Lösung ist jetzt:
a0 = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ak = \(\frac{sin(\pi*k)}{\pi*k}\)  (wobei ak für alle ganzen Zahlen 0 wird)
bk = \(\frac{-cos(\pi*k)+1}{\pi*k}\) (bk existiert nur für k= ungerade Zahlen => k wird ersetzt durch 2*n-1)
f(x) = \(\frac{1}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{-cos[\pi*(2n-1)]+1}{\pi *(2n-1)} \)

Stimmt das? Ich bin mir da leider ziemlich unsicher und könnte ein paar Tipps sicher gut gebrauchen 😃



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rlk
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-06


Hallo joja2020,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!
Du hast die Koeffizienten $a_k$ und $b_k$ für $k\geq 1$ richtig berechnet, bei $a_0$ hast Du einen Fehler. In der Fourierreihe fehlt ein entscheidender Faktor in den Summanden (die Reihe stellt eine Funktion von $x$ dar).

Die Werte $b_{2n-1}$ kannst Du noch vereinfachen.

Servus,
Roland
PS: Die $\LaTeX$-Befehle für $\cos(x)$ und $\sin(x)$ sind \cos(x) und \sin(x), damit werden die Funktionen so dargestellt, wie Donald Knuth das wollte. Statt * empfehle ich das Multiplikationssymbol \cdot.


[Verschoben aus Forum 'Funktionen' in Forum 'Fourierreihen' von rlk]



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joja2020
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-07


Hi, schonmal vielen Dank für deine Antwort.

Leider weiß ich nicht wie ich a0 anders berechnen kann unsere Formel lt. Skript ist hierfür: \(\frac{1}{\sqrt{L}} \cdot \int_\frac{-L}{2}^\frac{L}{2} dx f(x)\).

Seh ich das richtig, ich muss eigentlich nur die Koeffizienten in die "allgemeine Fourierfunktion" einsetzen?
In dem Fall komm ich auf
\(f(x) = a0 * \frac{1}{\sqrt{L}} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{-cos[\pi*(2n-1)]+1}{\pi *(2n-1)} \cdot sin[\pi x(2n-1)] \)

Weißt du ne Möglichkeit wie ich die Lösung (relativ) unkompliziert überprüfen kann?

Mfg,

Joja2020😃



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rlk
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-07


Hallo joja2020,
die Definition von $a_0$ aus eurem Skriptum ist unüblich. Der konstante Term in der Fourierreihe ist gleich dem Mittelwert
$$\frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2} f(x)\,\dd x$$ oft definiert man den Koeffizienten $a_0$ als das zweifache dieses Wertes, weil dann die Formel für $a_n$ auch für $n=0$ gilt. Der Summand in der Fourierreihe hat dann den Wert $a_0/2$.

Eine Möglichkeit, die Koeffizienten zu überprüfen, ist die Partialsummen der Fourierreihe mit der Funktion zu vergleichen, wie ich das in
LinkFouriertransformation - Rechtecksignal
getan habe. Rechenfehler wie falsche Vorzeichen oder vergessene Faktoren sollte dabei auffallen.

Servus,
Roland



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lula
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Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-07


Hallo
ich gebe die Summe in Wolfram alpha ein, evtl. nur die ersten paar Summanden, dann sieht man wie es läuft
Gruß lul


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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