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Schulmathematik » Terme und (Un-) Gleichungen » 1+1+1=0
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Kein bestimmter Bereich 1+1+1=0
Eckeneckepen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-06



Also ich habe hier einen Hinweis auf 1+1+1 = 0.

Wo steckt der Fehler, und wie lautet die plausibelste Begründung für den Fehler ?










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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

Tipp: Aus welcher Menge soll $x$ stammen?

Je nachdem, wie du diese Frage beantwortest, liegt der Fehler in einer anderen Zeile.
\(\endgroup\)


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Eckeneckepen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-08-06 01:07 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

Tipp: Aus welcher Menge soll $x$ stammen?

Je nachdem, wie du diese Frage beantwortest, liegt der Fehler in einer anderen Zeile.



1. Aus den komplexen Zahlen
2. Aus den reellen zahlen.


Es geht ja eigentlich um das Ergebnis: 1+1+1 = 0

Die Zahlen sollen aus der Menge kommen die das Ergebnis  bestmöglich unterstützt.
\(\endgroup\)


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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-06


Setz doch mal überall $x=1$ ein und finde damit raus, ab welcher Zeile es zu stimmen beginnt.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-06

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Hi Eckeneckepen

Vorüberlegung:
Wenn du in der zweiten Zeile $x$ durch $7$ ersetzt, was machst du dann genau?

Jetzt wieder zur Aufgabe.
Statt $x+1$ durch $-x^2$ zu ersetzen kannst du auch das $x$ durch $-x^2-1$ ersetzen. Prüfe es nach!
Und warum sollte es anders gemacht werden, wenn du $x$ statt durch $7$ durch $-x^2-1$ ersetzt?
Oder noch deutlicher: ersetze das $x$ durch $-y^2-1$. Was stört dich dann?
Oder stört dich doch nichts, weil du den Fehler bemerkt hast?

Gruß vom ¼


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


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Eckeneckepen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-06

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-08-06 02:18 - viertel in Beitrag No. 4 schreibt:
Hi Eckeneckepen

Vorüberlegung:
Wenn du in der zweiten Zeile $x$ durch $7$ ersetzt, was machst du dann genau?

Jetzt wieder zur Aufgabe.
Statt $x+1$ durch $-x^2$ zu ersetzen kannst du auch das $x$ durch $-x^2-1$ ersetzen. Prüfe es nach!
Und warum sollte es anders gemacht werden, wenn du $x$ statt durch $7$ durch $-x^2-1$ ersetzt?
Oder noch deutlicher: ersetze das $x$ durch $-y^2-1$. Was stört dich dann?
Oder stört dich doch nichts, weil du den Fehler bemerkt hast?

Gruß vom ¼


Also ich sehe in Zeile 1 zwei komplexe Lösungen c1 und c2 und keine reele.
In Zeile 2 sehe ich ebenfalls nur c1 und c2
In Zeile 3 (nach der Subst.) kommt zusätzlich zu den Lösungen c1 und c2 noch die reelle 1 als Lösung hinzu.
Klar - hier liegt der Fehler, denn x=1 löst nicht die erste Zeile.

Aber wieso sich hier die +1 eingeschlichen hat, kann ich nicht erklären.
Für mich sehen die Zeilen 1...3 aus wie Äquivalenzumformungen.



\(\endgroup\)


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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-06

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-08-06 03:02 - Eckeneckepen in Beitrag No. 5 schreibt:
Klar - hier liegt der Fehler, denn x=1 löst nicht die erste Zeile.

Und damit ist auch die Substitution $x+1=-x^2$ bzw. "$2=-1$" falsch.

Anderes, vielleicht etwas erhellenderes Beispiel:
$$y=y+1$$ hat offenbar keine Lösungen. Wenn wir nun aber $y=y+1$ auf der linken Seite substituieren, dann erhalten wir
$$y+1=y+1\enspace,$$ was von jedem $y$ erfüllt wird.
\(\endgroup\)


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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-06


2020-08-06 03:02 - Eckeneckepen in Beitrag No. 5 schreibt:
Also ich sehe in Zeile 1 zwei komplexe Lösungen c1 und c2 und keine reele.
In Zeile 2 sehe ich ebenfalls nur c1 und c2
Es geht nicht darum, welche Lösungen du „siehst“.

Sondern darum, welcher Fehler hier bei der Substitution gemacht wird!
Eckeneckepen schreibt:
In Zeile 3 (nach der Subst.) kommt zusätzlich zu den Lösungen c1 und c2 noch die reelle 1 als Lösung hinzu.
Klar - hier liegt der Fehler, denn x=1 löst nicht die erste Zeile.

Aber wieso sich hier die +1 eingeschlichen hat, kann ich nicht erklären.
Für mich sehen die Zeilen 1...3 aus wie Äquivalenzumformungen.
Und da guckst du leider falsch. Bei der Substitution ist leider eine Panne passiert. Aber welche?
Spiel doch mal meine Vorschläge durch.



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Eckeneckepen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-06

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-08-06 03:29 - traveller in Beitrag No. 6 schreibt:
2020-08-06 03:02 - Eckeneckepen in Beitrag No. 5 schreibt:
Klar - hier liegt der Fehler, denn x=1 löst nicht die erste Zeile.

Und damit ist auch die Substitution $x+1=-x^2$ bzw. "$2=-1$" falsch.

Anderes, vielleicht etwas erhellenderes Beispiel:
$$y=y+1$$ hat offenbar keine Lösungen. Wenn wir nun aber $y=y+1$ auf der linken Seite substituieren, dann erhalten wir
$$y+1=y+1\enspace,$$ was von jedem $y$ erfüllt wird.


Naja, $$y=y+1$$ hat noch nicht mal eine Lösung in den komplexen Zahlen.
(Auf beiden Seiten y Subtrahieren und man erhält 0 = 1)



Während die Zeile 1 sowie die blaue Umformung sowie Zeile 2 sehr wohl eindeutige Lösungen haben (c1,c2) und äquivalent sind.

Oft erhält man duch ungeschickte Substitution sowas wie 0=0, z.B. wenn  man in Zeile 1 links das "x+1" durch -x^2 Substituiert. Das ist durchaus ein erlaubter Schritt, der aber nicht zum Ziel führt.

Also so ganz blicke ich da nicht durch was da vor sich geht.

Zu c1 und c2 gesellt sich in Zeile 3 (nach der Subst.) plötzlich noch die reelle 1 als Lösung dazu.

Ich sehe den Fehler noch nicht. Wenn ich eine Gleichung habe mit k Lösungen und eine Sequenz von erlaubten Umformungen durchführe, dann sollten sich doch nicht  ein paar zusätzliche  Lösungen einschleichen.

Gegen welche Termumformungsregel hab ich verstoßen ?










[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Eckeneckepen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-06

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-08-06 02:18 - viertel in Beitrag No. 4 schreibt:
Hi Eckeneckepen

Vorüberlegung:
Wenn du in der zweiten Zeile $x$ durch $7$ ersetzt, was machst du dann genau?

Jetzt wieder zur Aufgabe.
Statt $x+1$ durch $-x^2$ zu ersetzen kannst du auch das $x$ durch $-x^2-1$ ersetzen. Prüfe es nach!
Und warum sollte es anders gemacht werden, wenn du $x$ statt durch $7$ durch $-x^2-1$ ersetzt?
Oder noch deutlicher: ersetze das $x$ durch $-y^2-1$. Was stört dich dann?
Oder stört dich doch nichts, weil du den Fehler bemerkt hast?

Gruß vom ¼


Hallo 0.25,

Also wenn ich für x die 7 einsetze erhalte ich:
7+1+1/7=0, was falsch ist. Die Gleichung gilt doch nur für die beiden komplexen Lösungen , nennen wir sie c1 und c2.

Sorry, ich sehe die Panne bei der Substitution nicht.



Lg Eckeneckepen,


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-08-06


Der Schluss von $x^2+x+1=0$ auf $x^3=1$ ist korrekt und ginge auch schneller mit der Formel

$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).$

Der Fehler liegt dann allerdings bei

$x^3=1 \implies x=1.$

Das ist nur für reelle Zahlen richtig. Tatsächlich gibt es aber gar keine reelle Zahl $x$ mit $x^2+x+1=0$, sondern nur zwei komplexe Zahlen, nämlich die beiden primitiven dritten Einheitswurzeln, also $\dfrac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}$. Diese erfüllen dann $x^2+x+1=0$ und damit auch $x^3=1$, aber $x \neq 1$.

Man könnte sogar sagen, dass der Beweis komplett richtig ist, wenn man ihn richtig interpretiert. Er zeigt nämlich, dass aus der Annahme, dass eine reelle Zahl $x$ mit $x^2+x+1=0$ existiert, der Widerspruch $1+1+1=0$ folgt. Mit anderen Worten: Es gibt keine reelle Zahl $x$ mit $x^2+x+1=0$. Und das passt auch.

PS: Mich irritieren die vorigen Antworten, die behaupten, dass bei der Substitution ein Fehler passiert ist.



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-08-06


2020-08-06 08:35 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
Der Schluss von $x^2+x+1=0$ auf $x^3=1$ ist korrekt

Wenn du mit "Schluss" so etwas wie "Äquivalenzumformung" meinst, dann ist er klarerweise nicht korrekt, denn $x=1$ löst die zweite Gleichung, die erste nicht.

2020-08-06 08:35 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
und ginge auch schneller mit der Formel

$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).$

Durch Multiplikation mit dem Linearfaktor $(x-1)$ fügst du natürlich die Nullstelle $x=1$ hinzu. Aus diesem Grund sind Multiplikationen mit Termen, welche die Variable enthalten, im Allgemeinen keine Äquivalenzumformungen.

Bei diesem Weg sieht man das sogar noch schöner als im Originalbeitrag.

2020-08-06 08:35 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
Er zeigt nämlich, dass aus der Annahme, dass eine reelle Zahl $x$ mit $x^2+x+1=0$ existiert, der Widerspruch $1+1+1=0$ folgt.
[...]
PS: Mich irritieren die vorigen Antworten, die behaupten, dass bei der Substitution ein Fehler passiert ist.

Genau bei der Substitution wird ja die von dir erwähnte nicht gerechtfertigte Annahme gemacht, nämlich dass es eine reelle Zahl gibt, welche $x+1=-x^2$ erfüllt.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-08-06


2020-08-06 09:09 - traveller in Beitrag No. 11 schreibt:
2020-08-06 08:35 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
Der Schluss von $x^2+x+1=0$ auf $x^3=1$ ist korrekt

Wenn du mit "Schluss" so etwas wie "Äquivalenzumformung" meinst, dann ist er klarerweise nicht korrekt, denn $x=1$ löst die zweite Gleichung, die erste nicht.

Ein Schluss ist keine Äquivalenz, sondern eine Implikation ("ich schließe von $A$ auf $B$"), und der Schluss "$x^2+x+1=0\implies x^3=1$" ist korrekt.

Problematisch wird es erst beim nächste Schluss "$x^3=1\implies x=1$". Und die Problematik hängt davon ab, welche Menge man für $x$ zu Grunde legt.
1. Für $x\in\mathbb R$ ist der Schluss selbst korrekt und führt zu einem Widerspruch. Also hat man – wie Triceratops schon geschrieben hat – einen Widerspruchsbeweis gegen die Lösbarkeit von $x^2+x+1=0$ mit $x\in\mathbb R$ geführt.
2. Für $x\in\mathbb C$ ist der Schluss falsch.

--zippy



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-08-06


2020-08-06 09:36 - zippy in Beitrag No. 12 schreibt:
Ein Schluss ist keine Äquivalenz, sondern eine Implikation ("ich schließe von $A$ auf $B$"), und der Schluss "$x^2+x+1=0\implies x^3=1$" ist korrekt.

In Ordnung. Zwischen den einzelnen Zeilen im Originalbeitrag sind allerdings keine Pfeile vorhanden und aus der Schulmathematik (unter welcher das Thema notabene eingetragen ist) ist man sich üblicherweise gewohnt, dass man hier Äquivalenzumformungen durchführt.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-08-06


@traveller:
2020-08-06 10:42 - traveller in Beitrag No. 13 schreibt:
... und aus der Schulmathematik (unter welcher das Thema notabene eingetragen ist) ist man sich üblicherweise gewohnt, dass man hier Äquivalenzumformungen durchführt.

das ist ein weitverbreiteter Irrtum. Mag sein, dass das Thema auch auf diversen Streichlisten steht, aber bislang spielen doch Bruchgleichungen in der Schulmathematik eine gewisse Rolle (unter anderem genau dazu, dass man auf die Problematik aufmerksam machen kann).

Der eigentliche Zweck dieses Beitrags steht jedoch weiter unten. 😉

@Eckeneckepen:
Nette Spielerei. 😎


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Terme und (Un-) Gleichungen' von Diophant]



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-08-06

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-08-06 03:58 - Eckeneckepen in Beitrag No. 9 schreibt:
Hallo 0.25,

Also wenn ich für x die 7 einsetze erhalte ich:
7+1+1/7=0, was falsch ist. Die Gleichung gilt doch nur für die beiden komplexen Lösungen , nennen wir sie c1 und c2.
Es geht auch nicht darum, ob das richtig oder falsch ist.
Sondern darum, was du machst!
Du ersetzt jedes $x$ durch $7$. In deiner Substitution wird aber nur ein $x$ ersetzt, nämlich das in dem Teilterm $x+1$.
Und was ist mit dem $x$ unter dem Bruchstrich?
Deswegen mein Vorschlag, nicht durch $-x^2$, sondern $-y^2$ zu ersetzen. Dann wäre dir nämlich aufgefallen, daß da ein $x$ übrig geblieben ist. Du hast plötzlich 2 Variablen in deiner Gleichung.
$x+1$ durch $-y^2$ zu ersetzen ist gleichbedeutend mit $x$ durch $-y^2-1$ zu ersetzen (hast du das wirklich nachgeprüft?), und damit natürlich auch das $x$ unter dem Bruchstrich.

Eckeneckepen schreibt:
Sorry, ich sehe die Panne bei der Substitution nicht.
Siehst du den Fehler jetzt?

Ich habe jetzt meinen Fehler entdeckt🤢
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-08-06


2020-08-06 11:00 - Diophant in Beitrag No. 14 schreibt:
@traveller:
2020-08-06 10:42 - traveller in Beitrag No. 13 schreibt:
... und aus der Schulmathematik (unter welcher das Thema notabene eingetragen ist) ist man sich üblicherweise gewohnt, dass man hier Äquivalenzumformungen durchführt.

das ist ein weitverbreiteter Irrtum. Mag sein, dass das Thema auch auf diversen Streichlisten steht, aber bislang spielen doch Bruchgleichungen in der Schulmathematik eine gewisse Rolle (unter anderem genau dazu, dass man auf die Problematik aufmerksam machen kann).

Auch beim Lösen von Gleichungen mit Wurzelausdrücken werden i. d. R. Umformungen gemacht, die keine Äquivalenzumformungen sind, und führen so zu Schelmlösungen Scheinlösungen. So ist auch hier 1 eine Scheinlösung.

Oder werden Gleichungen mit Wurzelausdrücken ebenfalls vom Lehrplan gestrichen?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-08-06


Noch einmal deutlich: Bei der Substitution ist kein Fehler gemacht worden.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-08-06


2020-08-06 09:09 - traveller schreibt:
Wenn du mit "Schluss" so etwas wie "Äquivalenzumformung" meinst, dann ist er klarerweise nicht korrekt, denn $x=1$ löst die zweite Gleichung, die erste nicht.

zippy hat darauf schon geantwortet, aber trotzdem hier noch der Hinweis auf

Genau bei der Substitution wird ja die von dir erwähnte nicht gerechtfertigte Annahme gemacht, nämlich dass es eine reelle Zahl gibt, welche $x+1=-x^2$ erfüllt.

Nein, die Annahme wird verwendet, was in einem Beweis völlig normal ist. Ob die Annahme nun stimmt oder nicht, ändert nichts an der Richtigkeit (oder Falschheit) des Schlusses.

Siehe auch:
 
Wenn etwas falsch ist, dann ist es die Annahme selbst (sofern $x \in \IR$ gemeint ist; siehe mein Post).



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2020-08-06


Rein algebraisch gesehen ändert die Substitution ja den Grad der Gleichung von 2 auf 3. Das wurde bisher noch nicht thematisiert, wenn ich nichts übersehen habe.

Das ist - wie schon klar gesagt wurde - alles richtig. Aber hier kommt dann eben die zusätzliche Scheinlösung ins Spiel.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-08-06

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-08-06 17:32 - viertel in Beitrag No. 15 schreibt:
Du ersetzt jedes $x$ durch $7$. In deiner Substitution wird aber nur ein $x$ ersetzt, nämlich das in dem Teilterm $x+1$.

In der Gleichung \(7+7=21-7\) kann ich aber die linken \(7\) durch \((10-3)\) ersetzen und rechts die 7 stehen lassen: \((10-3)+(10-3)=21-7\). Oder mache ich nun auch ein Fehler?

Wikipedia schreibt zur Aufgabe folgendes:



#2 lässt mich auch eher vermuten, dass dieses keine Schulaufgabe ist, da komplexe Zahlen dort nicht behandelt werden. Fehler in Beweisen zu suchen findet auch keinen Platz im Lehrplan. Ich würde es wohl eher in Logik (Hochschule) einordnen.

Gruß,

Küstenkind
\(\endgroup\)


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viertel
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\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-08-06 18:11 - Kuestenkind in Beitrag No. 20 schreibt:
2020-08-06 17:32 - viertel in Beitrag No. 15 schreibt:
Du ersetzt jedes $x$ durch $7$. In deiner Substitution wird aber nur ein $x$ ersetzt, nämlich das in dem Teilterm $x+1$.

In der Gleichung \(7+7=21-7\) kann ich aber die linken \(7\) durch \((10-3)\) ersetzen und rechts die 7 stehen lassen: \((10-3)+(10-3)=21-7\). Oder mache ich nun auch ein Fehler?
Danke. Aber ich hatte meinen Denkfehler inzwischen selbst erkannt🤢
Ich hatte den blauen Teil hinter der ersten Gleichung übersehen.
\(\endgroup\)


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