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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Homomorphismus beschränkt sich zu Automorphismus
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Universität/Hochschule J Homomorphismus beschränkt sich zu Automorphismus
LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-09

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Hey,

ich fürchte, ich übersehe hier etwas triviales, aber ich sehe wirklich keinen Grund für das folgende.

Es geht um den Hauptsatz der Galoistheorie. Genauer um den Teil im Beweis, der beweisen soll, dass für eine endliche Galois-Erweiterung L/K mit H als Untergruppe der Galois-Gruppe G, gilt:
Wenn H Normalteiler in G, dann ist $L^H$ normal (und damit galoisch) über K.

Im Beweis wird nun ein K-Homomorphismus $f:L^H \Rightarrow L'$ in einen algebraischen Abschluss L' von L betrachtet.
Wir haben ein Lemma, das aussagt, dass wenn jedes solche f sich zu einem K-Aut beschränkt, die Erweiterung $L^H/K$ normal ist.

Im Beweis heißt es aber: "Es ist dann $f(L^H)=L^H$ zu zeigen."

Wie aber folgt daraus die Bijektivität von f? Daraus folgt doch nur die Surjektivität.
Ich sehe nicht, wie das auch die nötige Injektivität impliziert.

Vielen Dank!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄
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JonyGo
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Körperhomomorphismen sind immer injektiv.



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-09


Genau das triviale das ich befürchtete :D

Danke sehr!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄



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LukasNiessen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LukasNiessen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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