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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Unklarheit bei dualer Abbildung
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Universität/Hochschule Unklarheit bei dualer Abbildung
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-12


Hallo zusammen,

in unserem Skript wurde die duale Abbildung wie folgt eingeführt:

Sei $f\colon V\to W$ linear. Dann definieren wir die duale Abbildung $f^*\colon W^*\to V^*$ zu $f$ durch $f^*(\phi):=\psi$ mit $\psi(\xi)=\phi(f(\xi))$ für $\phi\in W^*$ und $\xi\in V$.
Es bildet dabei f von V nach W ab, und $\phi$ von W nach F.
Es folgt aus der Definition, dass $f^*(\phi)\in V^*$ gilt und dass $f^*$ linear ist.

Dann gibt es das folgende

Lemma
Sei $f\colon V\to W$ durch die $(m\times n)$-Matrix $A=\left(a^i_j\right)_{\overset{1\le i\le m}{1\le j\le n}}$ bezüglich Basen $(a_i)_{1\le i\le n}$ und $(b_j)_{1\le j\le m}$ von $V$ bzw.{} $W$ dargestellt. Dann ist $f^*\colon W^*\to V^*$ durch die $(m\times n)$-Matrix $\left(b^i_j\right)_{\overset{1\le i\le m}{1\le j\le n}}$ mit $b^i_j=a^i_j$ bez\"uglich der Basen $\left((b^*)^j\right)_{1\le j\le m}$ und $\left((a^*)^i\right)_{1\le i\le n}$ in dem Sinne dargestellt, dass $f^*\left((b^*)^j\right)=\sum\limits_{i=1}^n b^j_i(a^*)^i$ für alle $1\le j\le m$ gilt.
Für die Koordinaten erhalten wir die Abbildung \[(\xi_1,\ldots,\xi_m)\mapsto \left(\sum\limits_{j=1}^m \xi_jb^j_i\right)_{1\le i\le n}.\]
Beweis
Nach Definition gilt
$\begin{align*} \left(f^*\left(\left(b^*\right)^j\right)\right)(a_k) =&\,\left((b^*)^j\circ f\right)(a_k) =(b^*)^j\left(\sum\limits_{i=1}^m a^i_k b_{i}\right)\\ =&\,\sum\limits_{i=1}^ma^i_k(b^*)^jb_{i} =\sum\limits_{i=1}^ma^i_k\delta^j_i =a^j_k.
\end{align*}$

Aus $f^*\left((b^*)^j\right) =\sum\limits_{l=1}^n b^j_l(a^*)^l$ folgt andererseits
\[\left(f^*\left(\left(b^*\right)^j\right)\right)(a_k) =\sum\limits_{l=1}^n b^j_l(a^*)^l(a_k) =\sum\limits_{l=1}^n b^j_l\delta^l_k =b^j_k.\]
Die Behauptung für die Koordinaten ergibt sich direkt aus der Linearität.

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Ich habe zunächst einmal zwei Fragen:

Frage 1) Woher weiß man, dass $f^*\left((b^*)^j\right)=\sum\limits_{i=1}^n b^j_i(a^*)^i$ für alle $1\le j\le m$ gilt?
Frage 2) Bezüglich welcher Basis sind ie Koordinaten $(\xi_1, ..., \xi_m)$ gegeben? Und wieso ergibt sich die Behauptung für die Koordinaten direkt aus der Linearität?


Darüber hinaus habe diesen Abschnitt allgemein auch nicht komplett verstanden. Ich habe mir deshalb mal ein Beispiel hergenommen, nämlich die lineare Abbildung $f: \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2}$ mit $f(x) = \begin{pmatrix} x_{2} - x_{3} \\ 3x_{1} + 5x_{3} \end{pmatrix}$,
mit Basis $\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 8 \end{pmatrix}\}$ von $V:= \mathbb{R}^{3}$
und einer Basis $\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \}$ von $W:= \mathbb{R}^{2}$.

Hier ergibt sich $f(a_{1}) = \binom{-1}{18} = 29 \binom{1}{2} - 10 \binom{3}{4}$.
$f(a_{2}) = \binom{1}{38} = 55 \binom{1}{2} - 18 \binom{3}{4}$,
$f(a_{3}) = \binom{1}{61} = 89,5 \binom{1}{2} - 29,5 \binom{3}{4}$.

Man erhält die darstellende Matrix $A_{f} = \begin{pmatrix} 29 & 55 & 89,5 \\
-10 & -18 & -29,5 \end{pmatrix}$.

Laut dem Satz ergibt sich dieselbe darstellende Matrix für $f^{*}$ bezüglich der Basen $\left((b^{*})^{j}\right)_{1 \le j \le 2}$ von $W^{*}$ und $\left((a^{*})^{i}\right)_{1 \le i \le 3}$ von $V^{*}$.

Wie sehen diese Basen konkret aus? Und wieso gilt die Gleichheit, welche ich in Frage 1 geschrieben habe?




Ich wäre euch für eure Hilfe zum Verständnis sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion


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Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-13


Anmerkung: ich verurteile die Bezeichnung der Eintrage der Matrix <math>A</math> mit <math>a</math> und der Basis von <math>V</math> ebenfalls mit <math>a</math>; ich behalte sie aber bei.

Zu Frage 1)
Da nach Definition <math>f^{*}((b^{*})^{j})\in V^{*}</math> gilt und <math>a^{*}</math> eine Basis von <math>V^{*}</math> ist, l\"a\ss t sich <math>f^{*}((b^{*})^{j})</math> grundsätzlich als Linearkombination der <math>a^{*}</math> darstellen. Also gibt es <math>b_{i}^{j}\in K</math> so, dass <math>f^{*}((b^{*})^{j})= \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{j} (a^{*})^{i}</math> gilt.

Zu Frage 2)
Die Koordinaten sind bezüglich der dualen Basis <math>b^{*}</math> gegeben. Zum Beweis der behaupteten Koordinatentransformation kannst Du die Rechnungen im ersten Teil des Beweises auf <math>f^{*}(x)</math> mit <math>x= \sum_{j=1}^{m} \xi_{j} (b^{*})^{j}</math> übertragen; dabei verwendest Du dann insbesondere die Linearit\"at von <math>f^{*}</math>...



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13


Hallo hippias und vielen Dank für deine Antwort!

2020-08-13 10:15 - hippias in Beitrag No. 1 schreibt:
Anmerkung: ich verurteile die Bezeichnung der Eintrage der Matrix <math>A</math> mit <math>a</math> und der Basis von <math>V</math> ebenfalls mit <math>a</math>; ich behalte sie aber bei.

Hmm analoges gilt dann aber auch für die Bezeichnung der Matrix von $f^{*}$, wobei hier auch Komponenten $b^{j}_{i}$ verwendet werden und dies irreführend ist ob der bereits existierenden Vektoren $b_{1}, ..., b_{m}$?


Zu Frage 1)
Da nach Definition <math>f^{*}((b^{*})^{j})\in V^{*}</math> gilt und <math>a^{*}</math> eine Basis von <math>V^{*}</math> ist, l\"a\ss t sich <math>f^{*}((b^{*})^{j})</math> grundsätzlich als Linearkombination der <math>a^{*}</math> darstellen. Also gibt es <math>b_{i}^{j}\in K</math> so, dass <math>f^{*}((b^{*})^{j})= \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{j} (a^{*})^{i}</math> gilt.

Okay das ergibt Sinn! Würde man hier aber nicht, um Verwirrungen zu vermeiden, $c^{j}_{i}$ zum Beispiel schreiben?


Zu Frage 2)
Die Koordinaten sind bezüglich der dualen Basis <math>b^{*}</math> gegeben. Zum Beweis der behaupteten Koordinatentransformation kannst Du die Rechnungen im ersten Teil des Beweises auf <math>f^{*}(x)</math> mit <math>x= \sum_{j=1}^{m} \xi_{j} (b^{*})^{j}</math> übertragen; dabei verwendest Du dann insbesondere die Linearit\"at von <math>f^{*}</math>...

Bevor ich zum Beweis schreite: könntest du mir sagen, wie denn die Basen $\left((b^{*})^{j}\right)_{1 \le j \le 2}$ von $W^{*}$ und $\left((a^{*})^{i}\right)_{1 \le i \le 3}$ von $V^{*}$ in meinem Beispiel aussehen, damit ich mir alles besser vorstellen kann?


Viele Grüße,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13


Guten Abend zusammen,

ich habe mich nun an dem Beweis für die Koordinaten versucht.
Es ist ja dann $x = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} (b^{*})^{j} \in W^{*}$, genau so wie $(b^{*})^{j} \in W^{*}$ im Beweis oben.
Dann ist aufgrund der Linearität von $f^{*}$:
$f^{*}(x) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} f^{*} (b^{*})^{j}$.

Wendet man die Definition von $f^{*}$, nämlich $f^{*}(b^{*})^{j} = (b^{*})^{j} \circ f$, so erhält man für $1 \le k \le n$:

$f^{*}(x)(a_k) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} f^{*} (b^{*})^{j}(a_k) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} \left(f^*\left(\left(b^*\right)^j\right)\right)(a_k) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} \left((b^*)^j\circ f\right)(a_k) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} (b^*)^j\left(\sum\limits_{i=1}^m a^i_k b_{i}\right) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} (b^*)^j\left(\sum\limits_{i=1}^m b^i_k b_{i}\right) =
\sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} \left(\sum\limits_{i=1}^m b^i_k (b^*)^j b_{i}\right) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} \left(\sum\limits_{i=1}^m b^{i}_{k} \delta^{i}_{j} \right) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} b^{j}_{k}$, wobei einmal noch die Linearität von $(b^{*})^{j}$ verwendet wurde.

Wäre der Beweis so okay?

Viele Grüße,
X3nion


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Hallo zusammen,

könnte jemand kurz drüberschauen, ob meine Notation sauber aufgeschrieben ist? 🙂
Ich wäre dafür sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion


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