| |
| Autor |
 Unklarheit bei dualer Abbildung |
|
X3nion
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
 |  Themenstart: 2020-08-12
|
Hallo zusammen,
in unserem Skript wurde die duale Abbildung wie folgt eingeführt:
Sei $f\colon V\to W$ linear. Dann definieren wir die duale Abbildung $f^*\colon W^*\to V^*$ zu $f$ durch $f^*(\phi):=\psi$ mit $\psi(\xi)=\phi(f(\xi))$ für $\phi\in W^*$ und $\xi\in V$.
Es bildet dabei f von V nach W ab, und $\phi$ von W nach F.
Es folgt aus der Definition, dass $f^*(\phi)\in V^*$ gilt und dass $f^*$ linear ist.
Dann gibt es das folgende
Lemma
Sei $f\colon V\to W$ durch die $(m\times n)$-Matrix $A=\left(a^i_j\right)_{\overset{1\le i\le m}{1\le j\le n}}$ bezüglich Basen $(a_i)_{1\le i\le n}$ und $(b_j)_{1\le j\le m}$ von $V$ bzw.{} $W$ dargestellt. Dann ist $f^*\colon W^*\to V^*$ durch die $(m\times n)$-Matrix $\left(b^i_j\right)_{\overset{1\le i\le m}{1\le j\le n}}$ mit $b^i_j=a^i_j$ bez\"uglich der Basen $\left((b^*)^j\right)_{1\le j\le m}$ und $\left((a^*)^i\right)_{1\le i\le n}$ in dem Sinne dargestellt, dass $f^*\left((b^*)^j\right)=\sum\limits_{i=1}^n b^j_i(a^*)^i$ für alle $1\le j\le m$ gilt.
Für die Koordinaten erhalten wir die Abbildung \[(\xi_1,\ldots,\xi_m)\mapsto \left(\sum\limits_{j=1}^m \xi_jb^j_i\right)_{1\le i\le n}.\]
Beweis
Nach Definition gilt
$\begin{align*} \left(f^*\left(\left(b^*\right)^j\right)\right)(a_k) =&\,\left((b^*)^j\circ f\right)(a_k) =(b^*)^j\left(\sum\limits_{i=1}^m a^i_k b_{i}\right)\\ =&\,\sum\limits_{i=1}^ma^i_k(b^*)^jb_{i} =\sum\limits_{i=1}^ma^i_k\delta^j_i =a^j_k.
\end{align*}$
Aus $f^*\left((b^*)^j\right) =\sum\limits_{l=1}^n b^j_l(a^*)^l$ folgt andererseits
\[\left(f^*\left(\left(b^*\right)^j\right)\right)(a_k) =\sum\limits_{l=1}^n b^j_l(a^*)^l(a_k) =\sum\limits_{l=1}^n b^j_l\delta^l_k =b^j_k.\]
Die Behauptung für die Koordinaten ergibt sich direkt aus der Linearität.
- - - - - - - - - - - - - - -
Ich habe zunächst einmal zwei Fragen:
Frage 1) Woher weiß man, dass $f^*\left((b^*)^j\right)=\sum\limits_{i=1}^n b^j_i(a^*)^i$ für alle $1\le j\le m$ gilt?
Frage 2) Bezüglich welcher Basis sind ie Koordinaten $(\xi_1, ..., \xi_m)$ gegeben? Und wieso ergibt sich die Behauptung für die Koordinaten direkt aus der Linearität?
Darüber hinaus habe diesen Abschnitt allgemein auch nicht komplett verstanden. Ich habe mir deshalb mal ein Beispiel hergenommen, nämlich die lineare Abbildung $f: \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2}$ mit $f(x) = \begin{pmatrix} x_{2} - x_{3} \\ 3x_{1} + 5x_{3} \end{pmatrix}$,
mit Basis $\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 8 \end{pmatrix}\}$ von $V:= \mathbb{R}^{3}$
und einer Basis $\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \}$ von $W:= \mathbb{R}^{2}$.
Hier ergibt sich $f(a_{1}) = \binom{-1}{18} = 29 \binom{1}{2} - 10 \binom{3}{4}$.
$f(a_{2}) = \binom{1}{38} = 55 \binom{1}{2} - 18 \binom{3}{4}$,
$f(a_{3}) = \binom{1}{61} = 89,5 \binom{1}{2} - 29,5 \binom{3}{4}$.
Man erhält die darstellende Matrix $A_{f} = \begin{pmatrix} 29 & 55 & 89,5 \\
-10 & -18 & -29,5 \end{pmatrix}$.
Laut dem Satz ergibt sich dieselbe darstellende Matrix für $f^{*}$ bezüglich der Basen $\left((b^{*})^{j}\right)_{1 \le j \le 2}$ von $W^{*}$ und $\left((a^{*})^{i}\right)_{1 \le i \le 3}$ von $V^{*}$.
Wie sehen diese Basen konkret aus? Und wieso gilt die Gleichheit, welche ich in Frage 1 geschrieben habe?
Ich wäre euch für eure Hilfe zum Verständnis sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
|
 Profil
|
hippias
Senior 
Dabei seit: 06.01.2017
Mitteilungen: 314
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-13
|
Anmerkung: ich verurteile die Bezeichnung der Eintrage der Matrix $A$ mit $a$ und der Basis von $V$ ebenfalls mit $a$; ich behalte sie aber bei.
Zu Frage 1)
Da nach Definition $f^{*}((b^{*})^{j})\in V^{*}$ gilt und $a^{*}$ eine Basis von $V^{*}$ ist, l\"a\ss t sich $f^{*}((b^{*})^{j})$ grundsätzlich als Linearkombination der $a^{*}$ darstellen. Also gibt es $b_{i}^{j}\in K$ so, dass $f^{*}((b^{*})^{j})= \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{j} (a^{*})^{i}$ gilt.
Zu Frage 2)
Die Koordinaten sind bezüglich der dualen Basis $b^{*}$ gegeben. Zum Beweis der behaupteten Koordinatentransformation kannst Du die Rechnungen im ersten Teil des Beweises auf $f^{*}(x)$ mit $x= \sum_{j=1}^{m} \xi_{j} (b^{*})^{j}$ übertragen; dabei verwendest Du dann insbesondere die Linearit\"at von $f^{*}$...
|
Profil
|
X3nion
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13
|
Hallo hippias und vielen Dank für deine Antwort!
\quoteon(2020-08-13 10:15 - hippias in Beitrag No. 1)
Anmerkung: ich verurteile die Bezeichnung der Eintrage der Matrix $A$ mit $a$ und der Basis von $V$ ebenfalls mit $a$; ich behalte sie aber bei.
\quoteoff
Hmm analoges gilt dann aber auch für die Bezeichnung der Matrix von $f^{*}$, wobei hier auch Komponenten $b^{j}_{i}$ verwendet werden und dies irreführend ist ob der bereits existierenden Vektoren $b_{1}, ..., b_{m}$?
\quoteon
Zu Frage 1)
Da nach Definition $f^{*}((b^{*})^{j})\in V^{*}$ gilt und $a^{*}$ eine Basis von $V^{*}$ ist, l\"a\ss t sich $f^{*}((b^{*})^{j})$ grundsätzlich als Linearkombination der $a^{*}$ darstellen. Also gibt es $b_{i}^{j}\in K$ so, dass $f^{*}((b^{*})^{j})= \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{j} (a^{*})^{i}$ gilt.
\quoteoff
Okay das ergibt Sinn! Würde man hier aber nicht, um Verwirrungen zu vermeiden, $c^{j}_{i}$ zum Beispiel schreiben?
\quoteon
Zu Frage 2)
Die Koordinaten sind bezüglich der dualen Basis $b^{*}$ gegeben. Zum Beweis der behaupteten Koordinatentransformation kannst Du die Rechnungen im ersten Teil des Beweises auf $f^{*}(x)$ mit $x= \sum_{j=1}^{m} \xi_{j} (b^{*})^{j}$ übertragen; dabei verwendest Du dann insbesondere die Linearit\"at von $f^{*}$...
\quoteoff
Bevor ich zum Beweis schreite: könntest du mir sagen, wie denn die Basen $\left((b^{*})^{j}\right)_{1 \le j \le 2}$ von $W^{*}$ und $\left((a^{*})^{i}\right)_{1 \le i \le 3}$ von $V^{*}$ in meinem Beispiel aussehen, damit ich mir alles besser vorstellen kann?
Viele Grüße,
X3nion
|
Profil
|
X3nion
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13
|
Guten Abend zusammen,
ich habe mich nun an dem Beweis für die Koordinaten versucht.
Es ist ja dann $x = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} (b^{*})^{j} \in W^{*}$, genau so wie $(b^{*})^{j} \in W^{*}$ im Beweis oben.
Dann ist aufgrund der Linearität von $f^{*}$:
$f^{*}(x) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} f^{*} (b^{*})^{j}$.
Wendet man die Definition von $f^{*}$, nämlich $f^{*}(b^{*})^{j} = (b^{*})^{j} \circ f$, so erhält man für $1 \le k \le n$:
$f^{*}(x)(a_k) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} f^{*} (b^{*})^{j}(a_k) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} \left(f^*\left(\left(b^*\right)^j\right)\right)(a_k) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} \left((b^*)^j\circ f\right)(a_k) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} (b^*)^j\left(\sum\limits_{i=1}^m a^i_k b_{i}\right) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} (b^*)^j\left(\sum\limits_{i=1}^m b^i_k b_{i}\right) =
\sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} \left(\sum\limits_{i=1}^m b^i_k (b^*)^j b_{i}\right) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} \left(\sum\limits_{i=1}^m b^{i}_{k} \delta^{i}_{j} \right) = \sum \limits_{j=1}^{m} \xi_{j} b^{j}_{k}$, wobei einmal noch die Linearität von $(b^{*})^{j}$ verwendet wurde.
Wäre der Beweis so okay?
Viele Grüße,
X3nion
|
Profil
|
X3nion
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15
|
Hallo zusammen,
könnte jemand kurz drüberschauen, ob meine Notation sauber aufgeschrieben ist? 🙂
Ich wäre dafür sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
|
Profil
|
| X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
