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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Quadrate zeichnen und Flächeninhalte berechnen
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Universität/Hochschule J Quadrate zeichnen und Flächeninhalte berechnen
Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-12


Hallo,

bin ich bei dieser Aufgabe richtig vorangegangen und zur richtigen Lösung gekommen?

Lg

Sebastian





















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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Kajam,

ganz ehrlich: was du hier machst ist alles andere als zielführend. Wenn es uns unnötige Zeit kostet: ok, geschenkt. Das muss ich dann in meinem Fall mit mir selbst ausmachen. Vor allem aber kostet es dich unnötige Zeit, und das verstehe ich nun überhaupt nicht.

Also ich habe das gerade durch mein CAS gejagt und kann dir so viel sagen:

- bei der Abbildung \(f_A\) stimmen die berechneten Koordinaten und die Fläche
- bei \(f_B\) stimmen die Koordinaten, die Fläche ist jedoch falsch.
- bei \(f_C\) stimmen wieder Koordinaten und Fläche.
- der allgemeine Fall ist komplett falsch.

Was man sonst noch sagen kann: das ist hier sicherlich nicht so gedacht, dass man für jedes Bildviereck per Flächeninhaltsformel die Fläche berechnet. Sondern das Urbild ist das Einheitsquadrat mit bekanntem Flächeninhalt. Die Abbildungen sind repräsentiert durch quadratische Matrizen, und diese haben sog. Determinanten. Ich verwette ziemlich viel darauf, dass es darum geht.

Von daher: schlage das nach, dann kannst du die fehlenden Lücken sicherlich selbst leicht schließen.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Geometrie' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12


Ich will auf jeden Fall Zeit sparen. Also, soll ich die Bilder der Urbilder*Matrix zusammenkleben und von jeder die Determinante berechnen? Die Determinante ist der Flächeninhalt?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-12


Hallo,

2020-08-12 19:52 - Kajam in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich will auf jeden Fall Zeit sparen. Also, soll ich die Bilder der Urbilder*Matrix zusammenkleben

abgesehen davon, dass das unverständlich ist: nein, du solltest auf Bilder weitgehend verzichten und eines der hier zur Verfügung stehenden Formelwerkzeuge verwenden.

2020-08-12 19:52 - Kajam in Beitrag No. 2 schreibt:
und von jeder die Determinante berechnen? Die Determinante ist der Flächeninhalt?

Die Determinante ist nicht der Flächeninhalt. Der Betrag der Determinante gibt an, um welchen Faktor sich der Flächeinhalt ändert.

Ist die Determinante positiv, bleibt der Umlaufsinn einer Figur erhalten. Ist sie negativ, so ändert sich auch der Umlaufsinn.

Ist die Determinante gleich Null, dann verschwindet der Flächeninhalt.

Und das kann man doch alles in den üblichen Unterlagen nachlesen...


Gruß, Diophant



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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12


2020-08-12 19:57 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo,

2020-08-12 19:52 - Kajam in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich will auf jeden Fall Zeit sparen. Also, soll ich die Bilder der Urbilder*Matrix zusammenkleben

abgesehen davon, dass das unverständlich ist: nein, du solltest auf Bilder weitgehend verzichten und eines der hier zur Verfügung stehenden Formelwerkzeuge verwenden.

2020-08-12 19:52 - Kajam in Beitrag No. 2 schreibt:
und von jeder die Determinante berechnen? Die Determinante ist der Flächeninhalt?

Die Determinante ist nicht der Flächeninhalt. Der Betrag der Determinante gibt an, um welchen Faktor sich der Flächeinhalt ändert.

Ist die Determinante positiv, bleibt der Umlaufsinn einer Figur erhalten. Ist sie negativ, so ändert sich auch der Umlaufsinn.

Ist die Determinante gleich Null, dann verschwindet der Flächeninhalt.

Und das kann man doch alles in den üblichen Unterlagen nachlesen...


Gruß, Diophant

Und was bringt mit die Determinante, wenn der Flächeninhalt gesucht ist und nicht der Streckungsfaktor?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-12


2020-08-12 20:24 - Kajam in Beitrag No. 4 schreibt:
Und was bringt mit die Determinante, wenn der Flächeninhalt gesucht ist und nicht der Streckungsfaktor?

Vom Streckungsfaktor war nirgends die Rede...


Gruß, Diophant



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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12


2020-08-12 20:37 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-08-12 20:24 - Kajam in Beitrag No. 4 schreibt:
Und was bringt mit die Determinante, wenn der Flächeninhalt gesucht ist und nicht der Streckungsfaktor?

Vom Streckungsfaktor war nirgends die Rede...


Gruß, Diophant

"Die Determinante ist nicht der Flächeninhalt. Der Betrag der Determinante gibt an, um welchen Faktor sich der Flächeinhalt ändert."
Ändern heißt für mich größer, Kleiner, gestaucht oder gestreckt werden.

Aber was soll ich jetzt machen? Die Bilder sind richtig? Nach denen ist auch gefragt. Und  dann??



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-12


Hallo
 dein Ausgsangsviereck hat die Fläche 1, die Det bestimmt wievielt sie vergrößert wir, also bei b) etwa mit dem Faktor 4. die Zeichnungen sind richtig , der allgemeine Fall Fläche falsch (hättest du nachprüfen können indem du die schon gerechneten Abbildungen mal  als a,b,c,d einsetzten.
Gruß lul


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-08-13


Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist im Allgemeinen nicht(!) das Produkt der Seitenlängen.

Das ist Schulstoff!

Im Übrigen vermute ich, dass diese Aufgabe veranschaulichen soll, dass der Flächeninhalt des Bildvierecks etwas mit der Transformationsmatrix zu tun hat. Er soll daher wohl eher mit Schul-Methoden bestimmt werden, damit man dann sieht, welche Beziehung zur Matrix besteht.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@Kitaktus:
2020-08-13 01:23 - Kitaktus in Beitrag No. 8 schreibt:
Im Übrigen vermute ich, dass diese Aufgabe veranschaulichen soll, dass der Flächeninhalt des Bildvierecks etwas mit der Transformationsmatrix zu tun hat. Er soll daher wohl eher mit Schul-Methoden bestimmt werden, damit man dann sieht, welche Beziehung zur Matrix besteht.

Ja, nachdem ich deinen Beitrag jetzt gelesen und nochmal darüber nachgedacht hatte gebe ich dir recht, da haben wir den Fragesteller wohl etwas überfordert.

@Kajam:
Also: dann probiere das bei der Fläche des Bildvierecks unter \(f_B\) nochmal mit einer Formel, aber mit der richtigen. Das richtige Resultat wurde ja schon genannt.

Für den allgemeinen Fall hast du dir schon klargemacht, dass es sich um ein Parallelogramm mit einer Ecke im Ursprung handelt. Kennst du aus der Schule oder aus anderen Zsammenhängen das Kreuzprodukt? Damit ginge es hier sicherlich am einfachsten, wenn man auf das Konzept der Determinate verzichtet (abgesehen davon, dass das hier natürlich in beiden Fällen ein und dasselbe ist).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13


2020-08-12 21:42 - lula in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo
 dein Ausgsangsviereck hat die Fläche 1, die Det bestimmt wievielt sie vergrößert wir, also bei b) etwa mit dem Faktor 4. die Zeichnungen sind richtig , der allgemeine Fall Fläche falsch (hättest du nachprüfen können indem du die schon gerechneten Abbildungen mal  als a,b,c,d einsetzten.
Gruß lul

Wie meinst du das mit nachprüfen? Wo hätte ich a,b,c,d einsetzen können? Das sind doch nur Veriablen der Matrix. Das verstehe ich nicht



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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-08-13 09:39 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
@Kitaktus:
2020-08-13 01:23 - Kitaktus in Beitrag No. 8 schreibt:
Im Übrigen vermute ich, dass diese Aufgabe veranschaulichen soll, dass der Flächeninhalt des Bildvierecks etwas mit der Transformationsmatrix zu tun hat. Er soll daher wohl eher mit Schul-Methoden bestimmt werden, damit man dann sieht, welche Beziehung zur Matrix besteht.

Ja, nachdem ich deinen Beitrag jetzt gelesen und nochmal darüber nachgedacht hatte gebe ich dir recht, da haben wir den Fragesteller wohl etwas überfordert.

@Kajam:
Also: dann probiere das bei der Fläche des Bildvierecks unter \(f_B\) nochmal mit einer Formel, aber mit der richtigen. Das richtige Resultat wurde ja schon genannt.

Für den allgemeinen Fall hast du dir schon klargemacht, dass es sich um ein Parallelogramm mit einer Ecke im Ursprung handelt. Kennst du aus der Schule oder aus anderen Zsammenhängen das Kreuzprodukt? Damit ginge es hier sicherlich am einfachsten, wenn man auf das Konzept der Determinate verzichtet (abgesehen davon, dass das hier natürlich in beiden Fällen ein und dasselbe ist).


Gruß, Diophant

Bei fB mit der Formel des Flächeninhalts für Parallelogramme?

Das Kreuzprodukt kenne ich und kann es auch ausrechnen. Aber was mit was bilde ich hier das Kreuzprodukt?

Ist es in dieser Aufgabe frei gewählt, wie man zur Lösung kommt? Ist es egal, ob man das mit der Determinante macht oder anderen Methoden???
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-08-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

lula meinte die Formel aus dem Themenstart, die du für die allgemeine Fläche aufgestellt hattest, die aber falsch ist.

Das wäre aber gar keine so gute Idee, weil deine Formel im Fall der Matrix A zufälligerweise sogar das richtige Ergebnis zurückliefern würde. Überprüfen könntest du es, wenn du mit der Matrix C in die Formel eingehst. Liefert deine Formel dann den Wert 0 zurück?

Wichtiger wäre ja jetzt aber, die Fläche unter \(f_B\) und die für den allgemeinen Fall noch korrekt zu bestimmen.

2020-08-13 12:29 - Kajam in Beitrag No. 11 schreibt:
Bei fB mit der Formel des Flächeninhalts für Parallelogramme?

Kommt halt darauf an, mit welcher Formel...

Es ist ja im Fall \(f_B\) nicht einfach ein Parallelogramm, sondern eine Raute. Deren Fläche lässt sich bspw. über die Diagonalen bestimmen.

2020-08-13 12:29 - Kajam in Beitrag No. 11 schreibt:
Das Kreuzprodukt kenne ich und kann es auch ausrechnen. Aber was mit was bilde ich hier das Kreuzprodukt?

Mit den Bildern der Punkte \((1,0)\) und \((0,1)\). Der Betrag des Kreuzprodukts liefert ja auch im \(\IR^2\) die Fläche des aufgespannten Parallelogramms zurück. Auch wenn es dort als Kreuzprodukt nicht wirklich definiert ist (man kann sich da behelfen, indem man eine z-Achse hinzufügt und die z-Koordinaten gleich Null setzt. Für den Fall, dass es formal korrekt zugehen muss).

2020-08-13 12:29 - Kajam in Beitrag No. 11 schreibt:
Ist es in dieser Aufgabe frei gewählt, wie man zur Lösung kommt? Ist es egal, ob man das mit der Determinante macht oder anderen Methoden???

Also das ist jetzt eine Frage, die musst du dir selbst beantworten. Im Studium ist es in aller Regel so, dass nur das an Konzepten verwendet werden darf, was schon behandelt und ggf. bewiesen wurde.

Wenn ihr Determinanten und ihre Eigenschaften zum Zeitpunkt der Aufgabenstellung schon durchgenommen habt, dann ist ihre Verwendung hier vermutlich sogar vorgesehen. Wenn nicht, dann soll es wohl die eine oder andere geometrische Überlegung sein.

 
Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
\(\endgroup\)


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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-08-13

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-08-13 12:27 - Kajam in Beitrag No. 10 schreibt:
Wie meinst du das mit nachprüfen? Wo hätte ich a,b,c,d einsetzen können? Das sind doch nur Veriablen der Matrix. Das verstehe ich nicht
Du sollst ja auch nicht a, b,.. einsetzen, sondern für a, b,… Werte einsetzen. Nämlich die Werte aus deinen Abbildungsmatrizen $A$, $B$ und/oder $C$.

Kajam schreibt:
Ist es in dieser Aufgabe frei gewählt, wie man zur Lösung kommt? Ist es egal, ob man das mit der Determinante macht oder anderen Methoden???
Das mußt du doch wissen. Aus deinem aktuellen Lernumfeld.


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Bild
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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-08-13


Hallo
die Abbildung ergibt  immer ein Parallelogramm. nimm die 2 Vektoren , die von 0 ausgehen, deren Kreuzprodukt ergibt  die Fläche. Das kannst du in allen 4 Fallen anwenden, Dann sieht man auch, dass das Kreuzprodukt gerade gleich der Determinante ist.
Fast sicher sollst du gerade das an Hand der Aufgaben rausfinden. Wenn ihr nicht im Unterricht schon gezeigt habt, dass die Det. bestimmt, wie sich Flächen ( in 3d Volumen) bei Abbildungen ändern, solltest du das nicht ohne Beweis verwenden. Es ist also nicht egal wie du die Aufgabe löst, und prinzipiell war dein vorgehen mit Zeichnen und dann rechnen das was die Aufgabe von dir will
Gruß lul

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]


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Ich habe jetzt jetzt mit den Kreuzprodukt die falschen Flächen von fB und fD berechnet. Ansonsten ist alles richtig, die Koordinaten etc.?








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2020-08-13 12:36 - Diophant in Beitrag No. 12 schreibt:
Hallo,

lula meinte die Formel aus dem Themenstart, die du für die allgemeine Fläche aufgestellt hattest, die aber falsch ist.

Das wäre aber gar keine so gute Idee, weil deine Formel im Fall der Matrix A zufälligerweise sogar das richtige Ergebnis zurückliefern würde. Überprüfen könntest du es, wenn du mit der Matrix C in die Formel eingehst. Liefert deine Formel dann den Wert 0 zurück?

Nein, es ist übrigens leider nicht 0 rausgekommen ^^



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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

die Fläche unter \(f_B\) ist jetzt richtig, wie ja bereits bestätigt.

Wenn wir hier einen Tipp geben, etwa "rechne mit dem Kreuzprodukt", dann heißt das ja noch lange nicht, dass es mit diesem Tipp getan ist. Du musst das dann schon weiterdenken.

Sprich: deine Koordinaten und das Kreuzprodukt sind zwar richtig, das ist aber noch nicht die gesuchte Fläche...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kajam
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Sie schrieben: "Der Betrag des Kreuzprodukts liefert ja auch im R2 die Fläche des aufgespannten Parallelogramms zurück". Das heißt, man nehmt die Einträge in Betragstriche und hat das Ergebnis??



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2020-08-13 22:20 - Kajam in Beitrag No. 18 schreibt:
Sie schrieben: "Der Betrag des Kreuzprodukts liefert ja auch im R2 die Fläche des aufgespannten Parallelogramms zurück". Das heißt, man nehmt die Einträge in Betragstriche und hat das Ergebnis??

Ja. Bloß: die Betragsstriche fehlen in der obigen Rechnung.


Gruß, Diophant



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Kajam
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|ad-cb| ^^



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Hallo,

das passt jetzt. Vergleiche mit der Determinante der Matrix D!


Gruß, Diophant



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Kajam
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Hallo,

Yo, es stimmt alles! Das Erfolgsgefühl ist unbeschreiblich ;)




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