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  Anschauliche Erklärung der Matrixdarstellung einer dualen Abbildung |
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niklasalkin
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 13.08.2020
Mitteilungen: 23
 |  Themenstart: 2020-08-13
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Hallo, ich bin gerade in der Prüfungsvorbereitung und beim Thema duale Abbildungen. Betrachten wir die endlichdimensionalen \(K\)-Vektorräume \(V\) mit Basis \(B_1\) und \(W\) mit Basis \(B_2\) und die entsprechenden dualen Basen \(B_1^*\) und \(B_2^*\) von \(V^*\) und \(W^*\). Sei weiter \(f\in\mathcal{L}(V,W)\). Nun ist ja die darstellende Matrix \([f^*]_{B_2^*,B_1^*}\) einer dualen Abbildung in endlichdimensionalen Vektorräumen die Transponierte der Matrixdarstellung \([f]_{B_1,B_2}\), also
\[[f^*]_{B_2^*,B_1^*}=\left([f]_{B_1,B_2}\right)^T.\]
Den Beweis dieser Aussage kann ich nachvollziehen, allerdings würde mir eine anschauliche Erklärung beim allgemeinen Verständnis sehr weiterhelfen. Kann mir da jemand weiterhelfen? Gibt es überhaupt eine anschauliche Erklärung, oder muss man sich mit dem Beweis zufriedengeben?
Vielen Dank schonmal,
niklasalkin
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-13
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Eine wirklich gute Anschauung kenne ich nicht.
Intuitiv könnte man wahrscheinlich so denken: Wenn wir Vektoren der Vektorräume $V,W$ als Spaltenvektoren auffassen, dann können wir $V^{*}, W^{*}$ als Räume mit Zeilenvektoren auffassen. Für eine lineare Abbildung $f : V \to W$ ist $f^{*} : W^* \to V^*$ die "natürliche Abbildung", die zu $f$ passt und auf Zeilen statt Spalten wirkt - auf Matrixebene ist das die Transponierte.
Alternativ: Wenn die Vektorräume $V,W$ euklidisch sind, dann kann man die duale Abbildung durch $\langle w, f(v) \rangle = \langle f^{\ast}(w), v \rangle$ definieren und nachrechnen, dass die transponierte Matrix das erfüllt.
Ich persönlich habe den Begriff der dualen Abbildung aber erst besser verstanden, als ich angefangen habe, mich mit Kategorientheorie zu beschäftigen. Vielleicht musst du dich noch gedulden, bis du solche Sachen lernst.
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niklasalkin
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 13.08.2020
Mitteilungen: 23
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13
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Vielen Dank Kezer, das hat mir geholfen!
Ich werde mich wohl aber trotzdem noch ein wenig gedulden, vielleicht kommt mein Verständnis ja auch nach der Kategorientheorie ;)
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