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Lineare Algebra » Vektorräume » Zeigen, dass eine Teilmenge ein Unterraum ist
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Universität/Hochschule J Zeigen, dass eine Teilmenge ein Unterraum ist
Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-14


Hallo Leute,

wie geht diese Aufgabe? Vor allem, ich verstehe den Tipp nicht.

Lg Kamil








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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-14


Hallo,

betrachte die beiden Gleichungen als LGS. Wenn man die Koeffizienten beider Gleichungen zu einer Matrix A zusammenfasst, dann ist dieses LGS ja gerade die Bestimmungsgleichung für den Kern von A (warum?).

Du kannst das ganze auch geometrisch betrachten: was beschreibt jede Gleichung für sich? Wie sieht demnach die Schnittmenge aus?


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]



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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-14


Hallo,

ich nehme dann doch den Weg mit dem Tipp. Das war verständlicher. Ich habe nun die Matrix. Soll ich dann jetzt weiter den Kern dieser Matrix bestimmen und die Dimension der Basis bestimmen? Das mache ich, indem ich die Basiselemente des Kerns addiere? Dann bin ich fertig? War es nicht so, dass der Kern einer Matrix immer ein Unterraum ist?

Lg




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-14


Hallo,

rechne doch einfach den Kern aus. Will sagen: löse das LGS.


Gruß, Diophant



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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15


Habe ich gemacht. Dimension 2.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-15


Hallo,

2020-08-14 22:04 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
rechne doch einfach den Kern aus. Will sagen: löse das LGS.

2020-08-15 11:15 - Kajam in Beitrag No. 4 schreibt:
Habe ich gemacht. Dimension 2.

???


Ein letzter Versuch, danach bin ich hier ggf. raus: bestimme die Lösungsmenge des obigen LGS.

Sollte es sich bei deiner obigen Antwort um die "Lösung" der Aufgabe handeln: dann ist sie falsch.


Gruß, Diophant






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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15


Hallo,

ich habe den Lösungsvektor bestimmt.




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

die Schreibweise als Spann ist hier nicht unbedingt zielführend. Es ist einfach

\[\on{Kern}(A)=\left(t,t,-t\right)^T\quad,\ t\in\IR\]
- welche Dimension besitzt diese Menge?
- ist sie ein Unterraum des \(\IR^3\) (Begründung!)?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15


Diese Menge besitzt die Dimension 3.
Ich glaube, es ist ein Unterraum
Begründung: Jede Menge ist sich selbst ein Unterraum???

Lg

Kajam



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-08-15 12:07 - Kajam in Beitrag No. 8 schreibt:
Diese Menge besitzt die Dimension 3.

Falsch (in Beitrag #6 hast du doch bereits eine Basis des Kerns aufgeschrieben...).

2020-08-15 12:07 - Kajam in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich glaube, es ist ein Unterraum
Begründung: Jede Menge ist sich selbst ein Unterraum???

Da deine Einschätzung bezüglich der Dimension nicht stimmt, kann auch dieses Argument hier nicht funktionieren.

Hättest du meinen Tipp befolgt und dir das ganze geometrisch vorgestellt, dann wärst du vermutlich längst fertig und würdest alles verstehen: die zwei Gleichungen beschreiben Ebenen im \(\IR^3\). Die Schnittmenge ist die Schnittgerade der beiden Ebenen.

- Welche Dimension hat eine Gerade?
- Warum ist diese Schnittgerade ein Unterraum (-> Unterraumkriterien checken, entweder für den Kern von A oder für die beiden Ebenengleichungen)?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15


Ich verstehe das nicht. Wieso ist es die Dimension 3 nicht? Der Vektor hat drei Komponenten, in x,y, und z-Richtung. Die Komponenten eines Vektor geben hier doch die Dimension an?

Eine Grade hat die Dimension 1. Das ist dann ein Unterraum des R^3, weil die gerade in R^3 liegt.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-08-15 13:07 - Kajam in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich verstehe das nicht. Wieso ist es die Dimension 3 nicht?

Könntest du mir drei linear unabhängige Vektoren der Form \((t,t,-t)^T\) nennen (ich bin gespannt...)?

2020-08-15 13:07 - Kajam in Beitrag No. 10 schreibt:
Der Vektor hat drei Komponenten, in x,y, und z-Richtung. Die Komponenten eines Vektor geben hier doch die Dimension an?

Nein, da hast du den Begriff der Dimension noch nicht wirklich verstanden.

2020-08-15 13:07 - Kajam in Beitrag No. 10 schreibt:
Eine Grade hat die Dimension 1.

Eben. Und der Lösungvektor \((t,t,-t)^T\) beschreibt eine Gerade im \(\IR^3\), aber nicht irgendeine, sondern eine mit einer besonderen Eigenschaft.

2020-08-15 13:07 - Kajam in Beitrag No. 10 schreibt:
Das ist dann ein Unterraum des R^3, weil die gerade in R^3 liegt.

Nein, das ist jetzt wirklich Unsinn. Du hast unter Garantie die Unterraumkriterien bzw. die Definition des Begriffs Unterraum in deinen Unterlagen und die musst du jetzt eben bemühen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15


Drei linear unabhängige Vektoren der Form (t t -t) wären: (t 0 0), (0 t 0) und (0 0 -t)^T.


Die Definition des Unterraumes:



Das verstehe ich nicht.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-08-15 13:29 - Kajam in Beitrag No. 12 schreibt:
Drei linear unabhängige Vektoren der Form (t t -t) wären: (t 0 0), (0 t 0) und (0 0 -t)^T.

Nein. Die sind zwar für \(t\neq 0\) linear unabhängig aber eben nicht von der Form \((t,t,-t)^T\). Zwei solche Vektoren wären etwa

\[\ba
v_1&=(1,1,-1)^T\\
\\
v_2&=(2,2,-2)^T
\ea\]
Siehst du jetzt, dass diese Menge eindimensional ist?

2020-08-15 13:29 - Kajam in Beitrag No. 12 schreibt:
Die Definition des Unterraumes...:
...Das verstehe ich nicht.

Schlechte Frage. Eine gute Frage würde eine Präzisierung enthalten, was du nicht verstehst.

Die Verknüpfung im \(\IR^3\) ist die bekannte Vektoraddition. Es müsste also theoretisch gezeigt werden, dass für zwei beliebige Vertreter \(v_1,\ v_2\) der Lösungsmenge \((t,t,-t)^T\) eben die genannten Kriterien gelten.

Aus diesen Kriterien folgt übrigens auch unmittelbar, dass der Nullvektor stets Element des Unterraums sein muss. Man kann das hier aber einfach begründen, indem man die Lösungsmenge wie eine aus der Schulzeit altbekannte Geradengleichung hinschreibt, also etwa

\[x=t\cdot\bpm 1\\1\\-1\epm,\quad t\in\IR\]
Und damit ist der Fisch geputzt. Es handelt sich um einen eindimsionalen Unterraum des \(\IR^3\), prüfe es nach, wenn noch etwas unklar sein sollte.

Geometrisch handelt es sich übrigens um eine Ursprungsgerade. Ursprungsgeraden sind Unterräume. Die beiden definierenden Gleichungen sind Ebenen, die beide den Ursprung enthalten (warum?). Auch das sind Unterräume. Der Schnitt zweier Unterräume ist selbst wieder ein Unterraum (wieder: warum?). So hätte man die ganze Aufgabe hier theoretisch als Zweizeiler abhandeln können. Vielleicht nimmst du dir das zu Herzen, bevor du das nächste Mal einen Rat, etwas von der geometrischen Warte aus zu betrachten, vorschnell in den Wind schießt...


Gruß, Diophant
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Kajam
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15


Ok, ich sehe, Diese Menge ist eindemensional.

Nun, hier kommt meine Präzisierung. Ich verstehe nicht, was das Plus und der Punkt in den Klammern heißt. Zudem, was die Pfeile bedeuten. Und das X, soll es Mal oder Kreuzprodukt heißen?



Dann nehme ich mal 2 beliebige Vektoren von V aus der Lösungsmenge. Ganz simpel, einfach v₁=(1 1 -1) und v₂=(2 2 -2). Die Summe beider Vektoren ist (3 3 -3).
 
Welche genannten Kriterien gelten jetzt? Soll ich jetzt VxV bilden?

Aus der Schulzeit ist mir eine Geradengleichung leider nicht bekannt. Damit kann ich nichts anfangen. In meiner Schule stand auf dem Lehrplan Analysis und Stochastik




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-08-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-08-15 14:19 - Kajam in Beitrag No. 14 schreibt:
Nun, hier kommt meine Präzisierung. Ich verstehe nicht, was das Plus und der Punkt in den Klammern heißt.

Ein Vektorraum ist eine Struktur über einem Körper. Die Addition ist dabei eine innere Verknüpfung. Sie wird Vektoraddition genannt und verknüpft stets zwei Elemente aus dem Vektorraum miteinander zu einem neuen Element des selben Vektorraums.

Die Multiplikation ist eine äußere Verknüpfung. Man nennt sie Skalarmultiplikation oder kurz S-Multiplikation. Sie verknüpft ein Element aus dem zugrundeliegenden Körper (einen Skalar) mit einem Element des Vektorraums (einem Vektor).

In unserem Fall ist der zugrundeliegende Körper einfach \((\IR,+,\cdot)\) und die Addition die aus der Schule bekannte komponentenweise Addition von Vektoren:

\[\bpm a_1\\a_2\\a_3\epm+\bpm b_1\\b_2\\b_3\epm=\bpm a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\epm\]
Und die Multiplikation eben ein Vielfaches eines Vektors:

\[t\cdot\bpm a_1\\a_2\\a_3 \epm=\bpm t\cdot a_1\\t\cdot a_2\\t\cdot a_3 \epm\]
2020-08-15 14:19 - Kajam in Beitrag No. 14 schreibt:
Zudem, was die Pfeile bedeuten. Und das X, soll es Mal oder Kreuzprodukt heißen?

Nein. Die Notation \(U\times U\to U\) bedeutet, dass eine Operation zwei Elementen aus U wieder ein Element aus U zuordnet. Heißt hier für uns: die Summe zweier Vektoren aus einem Unterraum muss selbst auch wieder Element dieses Unterraums sein. Das Kreuz ist dabei das Symbol für das kartesische Produkt.

2020-08-15 14:19 - Kajam in Beitrag No. 14 schreibt:
Dann nehme ich mal 2 beliebige Vektoren von V aus der Lösungsmenge. Ganz simpel, einfach v₁=(1 1 -1) und v₂=(2 2 -2). Die Summe beider Vektoren ist (3 3 -3).
 
Welche genannten Kriterien gelten jetzt?

Jetzt gilt \(+_U:\ U\times U\to U \), also die Summe liegt wieder im Unterraum, da der Vektor \((3,3,-3)^T\) wieder von der Form \((t,t,-t)^T\) ist.

2020-08-15 14:19 - Kajam in Beitrag No. 14 schreibt:
Soll ich jetzt VxV bilden?

Wozu?...

Ganz ehrlich: so macht das keinen Sinn. Du hast dich offensichtlich mit der Theorie hier noch gar nicht beschäftigt, und rechnest einfach mal mit Konzepten drauf los, von denen du dann keine Ahnung hast. Das geht andersherum. Erst den Stoff studieren bis man ihn einigermaßen verstanden hat. Und dann Aufgaben rechnen...


Gruß, Diophant
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Kajam
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Wie soll ich mich mit dem Stoff beschäftigen, wenn ich es mir durchlese und nicht verstehe? Der Professor erklärt das formal, genau wie es da steht und macht auch dann leider sehr sehr sehr leichte Beispiele. Und ich als Student muss andere schwierigere Beispiele machen und selber drauf kommen. Zumal nicht mal die Lösung hochgeladen wird.

Jetzt habe ich es aber verstanden. Es ist also eine Gerade mit der Dimension 1. 1, weil nur ein Basisvektor aus dem Kern raus gekommen ist. Deswegen also ein Unterraum das ganze.



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Hallo Kajam,

auch wenn du abgehakt hast:

2020-08-15 15:48 - Kajam in Beitrag No. 16 schreibt:
Wie soll ich mich mit dem Stoff beschäftigen, wenn ich es mir durchlese und nicht verstehe? Der Professor erklärt das formal, genau wie es da steht und macht auch dann leider sehr sehr sehr leichte Beispiele. Und ich als Student muss andere schwierigere Beispiele machen und selber drauf kommen. Zumal nicht mal die Lösung hochgeladen wird.

Ich kann das schon nachvollziehen. Ich wollte noch darauf hinweisen, dass es hier durchaus auch die Möglichkeit gibt, Verständnisfragen zu stellen. Also wenn dir beim Durcharbeiten von Skript bzw. Lehrbuch (ich würde nach Möglichkeit im Fach Mathematik stets beides verwenden) Dinge unklar sind, dann frage das doch sofort, bevor es dich am erfolgreichen Bearbeiten von Aufgaben hindert.

2020-08-15 15:48 - Kajam in Beitrag No. 16 schreibt:
Jetzt habe ich es aber verstanden. Es ist also eine Gerade mit der Dimension 1. 1, weil nur ein Basisvektor aus dem Kern raus gekommen ist. Deswegen also ein Unterraum das ganze.

So in etwa. Mit dem Hinweis auf die Basis des Kerns passt es. Wenn man nur über eine Gerade argumentieren würde, dann müsste man noch dazusagen, dass es eine Ursprungsgerade ist.


Gruß, Diophant



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