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Mathematik » Notationen, Zeichen, Begriffe » Lokal-abgeschlossenes Unterschema und quasi-projektive Varietät
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Universität/Hochschule J Lokal-abgeschlossenes Unterschema und quasi-projektive Varietät
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2020-08-28

Hallo, ich bin etwas verwirrt mit den im Titel genannten Begriffen. Dabei bedeutet Varietäten im Sinne von Hartshorne (geometrisch-integral, separiert, von endlichem Typ) über einem (alg. abg.) Körper $K$. Soweit ich gelesen habe, nennt man eine Varietät $X$ quasi-projektiv, wenn sie eine offene Untervarietät einer abgeschlossenen Varietät $V$ in einem projektiven Raum $Y=\mathbb{P}^n_K$ ist. Es besteht also ein Morphismus $f:=j\circ i$, wobei $i: X\to V$ offene Immersion und $j: V\to Y$ abgeschlossene Immersion sind. Nach der üblichen Definition ($f$ soll als "offen Imm." $\circ$ "abg. Imm" faktoriesieren) ist zunächst $f$ keine (lokal-abgeschlossene) Immersion (von Schemata). Also ist $X$ i.Allg. kein Unterschema von $Y$?


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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-28

Klassisch definiert man eine quasi-projektive Varietät einfach als eine Teilmenge eines projektiven Raumes, die als Durchschnitt einer offenen und einer abgeschlossenen Teilmenge geschrieben werden kann. Dann kannst du die Komposition also auch in der richtigen Reihenfolge schreiben. Allerdings gibt es ohnehin ein allgemeines Resultat, dass Kompositionen von Immersionen ebenfalls Immersionen sind; das läuft gerade darauf hinaus, dass die Komposition einer offenen Immersion gefolgt von einer abgeschlossenen Immersion auch als Komposition einer abgeschlossenen Immersion gefolgt von einer offenen Immersion geschrieben werden kann; den Beweis findest du in Lehrbüchern zur algebraischen Geometrie. Für quasikompakte Morphismen und Morphismen auf einem reduzierten Schema gilt zudem die Umkehrung, siehe etwa SP/01QV und SP/03DQ.


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